11.4. Движение в быстро осциллирующем поле. Маятник Капицы. Лазеры на свободных электронах

До сих пор, изучая поведение систем с изменяющимися параметрами, мы ограничивались так называемой «резонансной параметрикой», т. е. специфическим случаем, когда частота изменения параметра системы того же порядка, что и ее собственная частота — малые числа). Мы видели, что при этом возможна экспоненциальная неустойчивость. Что будет, если параметр изменяется очень быстро по сравнению с собственной частотой системы

Рассмотрим нелинейный осциллятор, на который действует зависящая от х периодическая сила:

Здесь , где — характерный период движения по траектории автономной системы. Будем искать решение уравнения (11.28) в виде суммы медленной и быстро осциллирующей частей где изменяются с характерными временами соответственно, а

Такой вид искомого решения физически оправдан, поскольку благодаря инерционности, осциллятор должен слабо откликаться на быстрые внешние пульсации. Подставляя это решение в (11.28) и учитывая, что

получаем уравнение

Это уравнение содержит пульсационные и медленно изменяющиеся слагаемые. Отделить одни от других очень просто, усреднив (11.29) за период . В результате получаем два связанных уравнения:

Пользуясь тем, что в последнем уравнении член имеет порядок и: следовательно, не мал, а слагаемое мало, второе уравнение можно сразу проинтегрировать. В результате найдем

т. е. при интегрировании по быстрому времени функцию можно считать константой. Подставляя далее (11.30) в уравнение для X, получим откуда окончательно имеем

Мы получили очень важный результат, совершенно неожиданный с точки зрения интуитивных представлений: вместо того, чтобы, «мелко вибрируя» под действием быстрых внешних пульсаций, сохранить среднее движение по траекториям, совпадающим с траекториями автономного аналога, наш новый эффективный осциллятор ведет себя совершенно иначе — в возвращающей силе появилось дополнительное, не малое слагаемое, пропорциональное квадрату амплитуды внешних пульсаций.

Впервые этот результат был получен в 1951 г. П. Л. Капицей и применен к расчету маятника с быстро вибрирующим подвесом [13, 14]. Теоретическая модель маятника Капицы и схема прибора для опытов с вибрирующим маятником представлены на рис. 11.7. Уравнение движения маятника Капицы имеет вид

где — момент внешних сил (когда момент внешних сил создается силой тяжести, . В предположении, что имеют тот же смысл, что и соответственно), для усредненных за время величин будем иметь

Рис. 11.7. Маятник с вибрирующим подвесом [13]: а — теоретическая модель; математический маятник длиной и массой свободно вращается в точке подвеса А, которая колеблется вдоль оси (около точки О) с частотой и амплитудой а; б - схема прибора для опытов с маятником Капицы; на оси электромотора 1 от швейной машинки (частота вращения эксцентрично насажен шариковый подшипник 2, к обойме которого присоединен шатун 3; он приводит в колебание рычаг 4, один конец которого вращается в неподвижной опоре; на другой конец рычага подвешивается стержень маятника мм) так, чтобы он свободно качался (а и

т. е., как и в предыдущем случае, мы исключаем из уравнения движения путем усреднения угол а угол заменяем углом характеризующим то положение маятника, около которого происходят мелкие вибрации. Результат влияния вибрации точки подвеса на колебания маятника в этом приближении оказывается простым: появляется «вибрационный» момент, который ведет себя как пара сил, стремящихся расположить маятник так, чтобы его стержень всегда был ориентирован по направлению вибраций подвеса, т. е. вдоль оси у. Этот момент выражается следующей формулой:

Он не зависит от длины маятника и пропорционален квадрату амплитуды колебаний подвеса. Уравнение движения (11.31) с учетом (11.32) теперь можно представить в виде где получается из заменой угла на . В поле силы тяжести среди состояний равновесия маятника, определяемых из равенства имеется тривиальное состояние равновесия соответствующее положению маятника «вверх ногами». Чтобы это состояние равновесия было устойчивым, необходимо выполнение условия откуда условие устойчивости

имеет вид При выполнении этого условия вертикальное положение маятника Капицы (рис. 11.7 а) устойчиво. На опыте это выглядит так: «Когда прибор приведен в действие, то стержень маятника ведет себя так, как будто для него существует особая сила, направленная по оси колебания подвеса. Поскольку частота колебаний подвеса велика, то изображение стержня маятника воспринимается глазом несколько размытым, и колебательное движение незаметно. Поэтому явление устойчивости производит неожиданное впечатление. Если маятнику сообщить толчок в сторону, то он начинает качаться, как обычный маятник Эти колебания затухают, и маятник приходит в вертикальное положение» [13].

«Если повернуть прибор так, что маятник колеблется в горизонтальной плоскости, то на движение исключается влияние момента силы тяжести. Если осторожно прикасаться пальцем к стержню маятника и отводить его в сторону, то палец чувствует давление, производимое вибрационным моментом, и легко убедиться, что его наибольшая величина соответствует углу поворота в Когда маятник находится в обычном устойчивом положении, колебания подвеса приводят к уменьшению периода колебаний маятника. Это значит, что любые вертикальные колебания, влияющие на часы, с периодом, меньшим периода маятника часов, всегда будут ускорять их ход (это П. Л. Капица демонстрировал на двойном маятнике [14]).

Изложенная выше теория была в дальнейшем обобщена на случай трехмерного движения в электромагнитных полях [15]; было, в частности, предложено использовать движение электронов в слабо неоднородных переменных полях для создания СВЧ-генераторов [16]. Недавно подобный подход был успешно применен в теории определенного типа лазеров на свободных электронах, действие которых основано на излучении электронов в периодических статических полях (убитрон) и рассеянии волн потоками релятивистских электронов (скаттрон) [17, 18]. Схема таких лазеров дана на рис. 11.8. Простейшая теория применительно к схеме рис. 11.8г изложена в [19]. В инерциальной системе отсчета К, которая движется поступательно в положительном направлении оси х (направление движения электронного потока) со скоростью, равной фазовой скорости комбинационной волны поле двух волн, воздействующих на пучок:

является одночастотным: Тогда в выбранной

Рис. 11.8. Схема лазеров на свободных электронах: а — убитрон (генератор, роль системы накачки в котором выполняет периодическая магнитная система 1); в спектре тока пучка возникают гармоники, скорость которых больше скорости света; они и взаимодействуют с полем резонатора сигнала скаттрон (генератор с зеркальным отражением от быстро движущегося переднего фронта пучка электронов 1); в — скаттрон (генератор с рассеянием волны накачки на возмущениях плотности 1, вызванных комбинационной волной на частоте приводящим к появлению сигнала; накачка (индекс г) и сигнал (индекс s) могут соответствовать различным типам колебании электродинамической структуры); схема модели скаттрона, используемой в теории

системе координат усредненное движение электрона, скорость которого , определяется силой (сила Миллера [15])

Эта сила при постоянных определяется только комбинационной

волной; выражение для приведено для случая отсутствия фокусирующих электроны полей. При таком подходе физические процессы в скаттроне можно интерпретировать как излучение частиц при условии их пространственного резонанса с волновыми биениями: — скорость электронов). Поскольку воздействие комбинационной волны аналогично воздействию обычной волны, механизм индуцированного рассеяния качественно выглядит следующим образом. При воздействии двух волн с частотами и и амплитудами на электронный поток на электроны начинает действовать периодическая сила с разностной частотой и амплитудой При условии , комбинационная волна, воздействуя на пучок, приводит к его группированию; при этом плотность электронов изменяется по амплитуде пропорционально с частотой Поскольку диэлектрическая проницаемость электронного потока и его показатель преломления определяются плотностью электронов, изменение плотности означает и изменение этих величин. При этом волна накачки рассеивается на возмущениях показателя преломления. Но тогда разностная частота и частота накачки складываются, что приводит к появлению волны сигнала с частотой Благодаря условию синхронизма сгруппированный электронный поток усиливает поле комбинационной волны так же, как в лампе бегущей волны, поэтому теория скаттрона аналогична теории ЛБВ (см. гл. 7) с заменой высокочастотного электрического поля в ЛБВ на эффективное поле комбинационной волны.