Глава 18. Простые волны и образование разрывов

18.1. Кинематические волны

Для нелинейных систем с сосредоточенными параметрами основной моделью, как мы видели, является нелинейный осциллятор, описываемый уравнением (см. гл. 13). Решение этого уравнения для многих задач служит основой, на которой можно строить приближенные решения при учете возмущающих факторов — внешних воздействий, положительной или отрицательной диссипации (см. гл. 15-17), нестационарности параметров и т. д. В теории нелинейных волн таких основных моделей несколько. Прежде всего это модель так называемого одноволнового приближения — уравнение

описывающее плоскую бегущую волну в нелинейной среде без диссипации и дисперсии; уравнение Бюргерса для сред с затуханием:

обобщенные уравнения Кортевега-де Вриза для бегущей волны в среде с дисперсией в области высоких частот:

Среди моделей, в которых учитывается взаимодействие встречных волн, одной из наиболее распространенных служит модель, описываемая уравнением Клейна-Гордона (для сред с дисперсией в области низких частот):

В этой и последующих главах мы обсудим задачи, приводящие к этим моделям, явления и эффекты, которые ими описываются [1-6, 14-16].

Прежде чем переходить собственно к волнам в сплошной среде, рассмотрим одну простую модель, хорошо известную в электронике. Пусть вдоль оси х движется пучок невзаимодействующих частиц так, что в эйлеровых переменных их скорость удовлетворяет уравнению

В электронике уравнение (18.5) описывает в рамках так называемой кинематической теории поведение электронного потока в трубе дрейфа приборов клистронного типа (простейший пролетный двухрезонаторный клистрон обсуждался нами качественно в гл. 1). Различие в скоростях электронов приводит в трубе дрейфа к образованию электронных уплотнений — группированию электронного потока. Внешне уравнение (18.5) очень похоже на уравнение простой волны, хотя, конечно, пучок невзаимодействующих частиц не является нелинейной средой.

Рассмотрим вначале волны малой амплитуды, когда Из (18.5) в этом приближении находим, что , следовательно, т. е. в линейном случае в системе дисперсии нет. Пусть теперь в момент времени пучок оказывается возмущенным по скорости по закону Перейдем в движущуюся со скоростью систему координат и рассмотрим эволюцию начального возмущения. Введем . Опуская индекс, в этой системе получим Решение этого нелинейного уравнения имеет вид так называемой простой волны где выражение для определяется начальным возмущением. При распространении такой волны в нелинейной среде ее профиль меняется со временем, поскольку разные точки на профиле волны бегут с различной скоростью. В случае пучка это есть следствие того, что частицы смещаются друг относительно друга из-за разных скоростей, причем одни частицы могут обогнать другие; в результате функция станет неоднозначной [7]. Проследим за пучком на фазовой плоскости их, на которой каждая точка смещается со своей собственной скоростью. Верхней полуплоскости соответствует движение вправо, а нижний — влево, причем скорость каждой точки пропорциональна ее удалению от оси х. Рисунок 18.1 иллюстрирует процесс эволюции пучка на фазовой плоскости их. Начальное состояние пучка — синусоида на плоскости их; здесь же штриховой линией показана зависимость плотности объемного заряда пучка от х (рис. 18.1 а). С течением времени происходит искажение профиля волны: частицы с уходят вперед,

а с отстают от волны. Одновременно образуются сгущения частиц вблизи точек 1 и 2, где и происходит группирование пучка (рис. 18.16). Волна постепенно становится все круче, и в конце концов производная на ее переднем фронте обращается в бесконечность (в бесконечность обращается в этой точке и плотность объемного заряда пучка). В следующий момент происходит опрокидывание волны, и функция перестает быть однозначной (рис. 18.1 в, г): у нее появляется точка поворота, т. е. образуются встречные пучки. После опрокидывания волны функция имеет удвоенное число особенностей (рис. 18.1 в, г). С дальнейшим увеличением времени структура потока еще более усложняется, возникает многопотоковость, однако мы на этом останавливаться не будем [2, 4].

Рис. 18.1. Эволюция во времени синусоидального возмущения в пучке невзаимодействующих частиц (скорость и — сплошные кривые, плотность — штриховые кривые): а — начальное состояние пучка, соответствующее начальному возмущению скорости; — образование электронных уплотнений — группирование частиц вблизи точек 1 и 2; в, г — опрокидывание «волны» скорости и образование удвоенного числа особенностей на кривой

В сверхвысокочастотной электронике для описания процесса группирования электронов в пространстве дрейфа отказываются от переменных Эйлера и переходят к переменным Лагранжа или где — начальный момент влета электрона в трубу дрейфа. В рамках кинематического подхода время пребывания электронов в пространстве группирования (трубе дрейфа) определяется как где — длина дрейфа, x — текущая переменная интегрирования. Сгруппированный ток можно найти из закона сохранения заряда, в котором — время прохождения группой электронов плоскости — плоскости х. Предположим, что действие устройства, создающего модуляцию по скорости перед трубой дрейфа (см. гл. 1), описывается выражением

где — скорость на входе в трубу дрейфа, скорость в отсутствие управляющего ВЧ-воздействия, амплитуда ВЧ-напряжения, масса и заряд электрона, круговая частота гармонического управляющего воздействия. Тогда при

где Очевидно, что в этом приближении

или для угла пролета в пространстве дрейфа

Величина где характеризует разницу во времени пребывания различных электронов в трубе дрейфа; ее называют параметром группирования (детали кинематической теории группирования прекрасно изложены в [8]). Наглядное представление о группировании в трубе дрейфа дает так называемая пространственно-временная диаграмма на плоскости (рис. 18.2). Поскольку до пересечения потока с плоскостью модулирующего устройства поток был однородным по скорости и плотности, траектории электронов до этого устройства разделены одинаковыми временными (угловыми) интервалами (поток однороден по плотности) и имеют одинаковый наклон (поток однороден по скорости). Воздействие управляющего напряжения приводит к модуляции скорости электронов — периодическому изменению наклона траекторий. Для электронов типа 2 на рис. 18.2 наклон прямой не меняется, поскольку они пересекают плоскость модулятора в тот момент, когда управляющее напряжение равно нулю. Для электронов типа 1, попадающих в тормозящую фазу поля, наклон траекторий уменьшается, для электронов типа 3 — увеличивается (они попадают в ускоряющую фазу поля). За период высокочастотного воздействия траектории сходятся (образуется уплотнение частиц) или расходятся (образуется разрежение частиц), что и иллюстрирует процесс группирования. Иногда вместо группирования говорят о фазовой фокусировке по аналогии с фокусировкой пучка световых лучей в геометрической оптике. Если воспользоваться законом сохранения заряда и выражением для времени пролета то и сгруппированный ток

Рис. 18.2. Пространственно-временная диаграмма группирования электронов в пространстве дрейфа: 1 — электрон, который тормозится полем; 2 — электрон, не испытывающий воздействия со стороны поля; 3 — электрон, который ускоряется полем; рисунки справа показывают соответствие «волнового» (рис. 18.1) и корпускулярного подходов к описанию процесса группирования

Заметим, что, хотя мы и полагали , параметр группирования может быть и не малым, поскольку во принимает любые значения. Поведение сгруппированного тока в зависимости от и от параметра X, пропорционального длине трубы дрейфа, иллюстрирует рис. 18.3, взятый из [8]. Из сравнения зависимостей плотности от координаты на рис. 18.1 и зависимостей на рис. 18.3 легко установить соответствие «волнового» и «корпускулярного» подходов к описанию процесса группирования. Условия в «волновой» картине соответствуют в «корпускулярной». Из последнего условия находим, что фазовый фокус — уплотнение бесконечно большой величины — образуется на расстоянии . Траектории таких фокусов представлены на рис. 18.3 е.