4.2. Колебания в упорядоченных структурах (цепочки из связанных частиц и из тождественных связанных осцилляторов)

Начнем с вывода уравнения движения безграничной одномерной решетки из одинаковых равноудаленных частиц (рис. 4.1). Рассмотрим продольные колебания цепочки.

Как видно из рис. 4.1, координата частицы в данный момент времени после возмущения равна

где — отклонение от положения равновесия (будем далее предполагать, что . Расстояние между двумя произвольными частицами составит

Рис. 4.1. Одномерная «решетка» состоящая из одинаковых равноудаленных частиц; вверху — решетка до возмущения; внизу — после возмущения (продольные колебания)

Если считать, что потенциальная энергия, на основании которой можно найти силу взаимодействия двух произвольных частиц, зависит только от расстояния между ними (будем обозначать ее через , то для потенциальной энергии решетки можно записать следующее выражение:

Рассмотрим линейные колебания, т. е. учтем малость Тогда, разлагая в ряд Тейлора и ограничиваясь членами второго порядка малости, получаем

где

Подставляя (4.5) в (4.4), запишем выражение для потенциальной энергии цепочки в виде

где . Зная легко вычислить силу, действующую на частицу, поскольку Дифференцирование ведется по смещению рассматриваемой частицы, поэтому вклад в при

суммировании по дадут лишь слагаемые, зависящие от , т. е. слагаемые, для которых справедливы равенства . Тогда из (4.6) следует, что

Можно показать, что для модели рис. 4.1 величина аналогична жесткости пружинок, соединяющих шарики. Если частицы в решетке имеют массу то согласно второму закону Ньютона уравнение движения частицы в решетке с учетом (4.7) можно записать так:

Решение уравнения (4.8) будем искать в виде

Если такое решение существует, то можно говорить о распространяющейся волне с волновым числом и с постоянной амплитудой С. Причем величина характеризует изменение фазы при переходе от частицы к . После подстановки (4.9) в (4.8) убеждаемся, что решения вида (4.9) существуют, если и к удовлетворяют трансцендентному уравнению

которое обычно называют дисперсионным.

Из дисперсионного уравнения видно, что частота является периодической функцией волнового числа к с периодом поэтому все возможные колебания можно найти, рассмотрев изменение в интервале Предположим теперь, что в решетке каждая частица взаимодействует только с ближайшими соседними. Тогда вместо (4.8) и (4.10) имеем

где Частоты колебаний, соответствующие (4.12), приведены на рис. 4.2. Заметим, что при малых т. е. из (4.12) следует равенство

представляющее собой линейный закон дисперсии.

Рис. 4.2. Закон дисперсии одномерной цепочки из одинаковых равноудаленных частиц: сплошные кривые — основной интервал изменения волнового числа штриховые — их периодическое продолжение

Рис. 4.3. Дисперсионная характеристика одномерной решетки при учете далеких взаимодействий с частицами

Вернемся к более общему случаю уравнения (4.10), когда на каждую частицу действуют силы со стороны всех других частиц, удаленных от рассматриваемой на расстояние, не большее произведения числа этих частиц на а. Заметим, что такая ситуация характерна для цепочки карбида и для недавно открытых спиральных полимеров. Соответствующая дисперсионная характеристика приведена на рис. 4.3 [2]. Из нее следует, что в этом случае волновое число является многозначной функцией частоты. Представляют интерес одномерные решетки, состоящие из двух сортов чередующихся частиц с массами (рис. 4.4). Пусть частицы расположены на равных расстояниях друг от друга и находятся в таком же силовом поле, как в предыдущей задаче. Эта модель соответствует, например, решетке хлористого натрия, в которой чередуются атомы хлора и натрия. Полагая, что взаимодействуют только соседние частицы, запишем уравнения для каждого сорта частиц (четные номера соответствуют частицам с массой

Рис. 4.4. Одномерная «решетка», состоящая из равноудаленных чередующихся частиц разной массы (продольные колебания)

нечетные — с массой ) в следующем виде:

Полагая, что

из (4.14) находим систему алгебраических уравнений, условие совместности которой приводит к дисперсионному уравнению четвертой степени относительно частоты:

Из (4.15) следует, что

При малых из (4.16) получаем

Из (4.16)-(4.18) видно, что в такой «среде» возможно распространение двух видов волн. Их дисперсионные кривые представлены на рис. 4.5.

Верхнюю ветвь, соответствующую высокочастотным колебаниям цепочки, называют оптической (при малых она описывается формулой (4.18)). От нее отделена низкочастотная ветвь — акустическая (при малых ей соответствует формула (4.17)). С ростом обе ветви сближаются. Предоставляем читателю самому изучить переход от двухатомной цепочки к одноатомной. Заметим, что при увеличении числа разносортных частиц соответственно увеличивается и число оптических ветвей.

Рис. 4.5. Дисперсионные кривые для цепочки из двух сортов частиц: верхняя ветвь — оптическая; нижняя — акустическая

Электрическим аналогом одномерной «решетки» из одинаковых равноудаленных частиц является цепочка, составленная из последовательно соединенных индуктивностей и емкостей С (рис. 4.6). Такая LC-цепочка ведет себя как фильтр нижних частот и описывается уравнением для тока

которое совпадает с уравнением (4.11), если сделать замены

Рассмотрим еще одну реализацию одномерной цепочки — бесконечный ряд одинаковых акустических резонаторов объемом которые соединены трубками с поперечным сечением и объемом Утр (рис. 4.7). Пусть через эту систему протекает газ с объемной плотностью Предположим, что в любой момент времени газ в резонаторах находится в состоянии равновесия и объем резонатора много больше объема соединительной трубки. Используя второй закон Ньютона, можно убедиться, что имеет место уравнение

где — изменение давления в резонаторе, сжимаемость газа. Уравнение (4.20) аналогично (4.11), т. е.

Рис. 4.6. Электрический аналог одномерной цепочки из одинаковых частиц: ток, протекающий через индуктивность между емкостями; заряд на емкости и приложенная к ней разность потенциалов

Рис. 4.7. Акустический аналог одномерной цепочки из одинаковых частиц: — скорости массы газа, находящегося между трубками соответственно действительно, рассмотренная цепочка представляет собой акустический аналог одномерной решетки из одинаковых частиц, в которой каждая частица взаимодействует только с ближайшими соседями.

Перейдем теперь к более сложному и более общему случаю, когда цепочка состоит не из частиц, а из тождественных связанных между собой осцилляторов, например, маятников массы имеющих собственную частоту . Связь маятников осуществляется пружинами с жесткостью (рис. 4.8). Уравнение для смещения маятника в случае малых колебаний и в предположении, что взаимодействие каждого осциллятора имеет место лишь с ближайшими соседями, может быть записано в виде

Читатель легко выведет это уравнение сам, используя подход, описанный при выводе уравнения (4.8). Решение дифференциально-разностного

Рис. 4.8. Цепочка одинаковых маятников, связанных между собой пружинами

уравнения (4.21) с разностью второго порядка будем искать в виде одночастотных колебаний (аналогично решению (4.9)), т. е.

Подставляя (4.22) в (4.21), получаем для действительных к закон дисперсии:

и для — действительная величина)

Рис. 4.9. Дисперсионная кривая в области прозрачности для цепочки, изображенной на рис. 4.8

Задавая в уравнении (4.23) частоту из (оказывая на цепочку внешнее воздействие), можно найти к. Если к получится действительным, то это значит, что вдоль цепочки будет распространяться волна частоты из, если к мнимое, то волна экспоненциально затухает.

Действительно, поскольку при с ростом номера ячейки. Дисперсионное уравнение (4.23) определяет частоты что соответствует значениям от до Область частот изо соответствующими волновыми числами — область прозрачности, в которой волны в цепочке распространяются без затухания (рис. 4.9). Из (4.23) следует, что условие возможно лишь, когда т.е. при мнимых к. Неравенство может выполняться также лишь при мнимых к. Этой области соответствует уравнение , а интервалу — уравнение (4.24). Указанным значениям из и к соответствует область непрозрачности, в которой амплитуда колебаний возбуждаемой на границе цепочки экспоненциально спадает с увеличением (рис. 4.10).

Рис. 4.10. Дисперсионные кривые в области непрозрачности для цепочки, изображенной на рис. 4.8:

Обсудим в заключение еще один пример — цепочку, состоящую из маленьких магнитных стрелок — осцилляторов с неупругой связью (рис. 4.11). Цепочка находится во внешнем магнитном поле, каждая стрелка может свободно вращаться в плоскости чертежа вокруг своего неподвижно закрепленного центра; основные обозначения вынесены на рисунок. Будем предполагать, как мы и делали в большинстве случаев, что магнитное взаимодействие имеет место лишь между полюсами ближайших стрелок. Распространение волн в такой цепочке рассматривалось М. Пароди при изучении ферромагнитных кристаллов [2], а недавно вновь анализировалось в [4] в связи с исследованием магнитостатических волн в магнитоупорядоченных средах.

Опуская выкладки [4], выпишем уравнение движения для стрелки, которое имеет вид

где I — момент инерции магнитной стрелки относительно ее оси вращения.

Дисперсионное уравнение, соответствующее (4.25) при условии , как показано в [4], запишется следующим образом:

Рис. 4.11. Цепочка из магнитных стрелок: вверху — в невозмущенном состоянии; внизу — возмущенное состояние цепочки при отклонении диполя от положения равновесия на малый угол

Величина определяется параметрами цепочки и внешним магнитным полем; она имеет размерность квадрата частоты, поэтому — аналог собственной частоты прецессии намагниченности. Параметр характеризует связь между стрелками-осцилляторами. Если внешнее поле отсутствует, то для больших длин волн где и определяется только параметрами цепочки.