23.2. Возникновение стохастических автоколебаний в гидродинамическом эксперименте

Как мы видели, даже в простых системах почти всегда возникает проблема отделения истинно собственной стохастичности, определяемой динамикой системы, от стохастичности, обязанной своим происхождением наличию внешних шумов. Особенно остро эта проблема встает в сложных (число степеней свободы не менее десяти) и распределенных

системах. По существу, окончательный ответ на вопрос может дать только сравнение теории (в рамках которой такая собственная стохастичность обнаруживается) с реальным экспериментом. Поскольку собственная стохастичность возникает в результате вполне определенных бифуркаций усложнения спектра, а в режиме установившейся стохастичности индивидуальные реализации, близкие при с ростом экспоненциально разбегаются, именно на эти моменты и следует обращать внимание в экспериментах.

Мы сейчас опишем несколько экспериментов, демонстрирующих качественно различные пути возникновения гидродинамической турбулентности, которые соответствуют различным путям возникновения странных аттракторов, обсуждавшихся нами в предыдущей главе.

Последовательность удвоений. На рис. 23.1 представлены спектры мощности теплового потока в слое жидкого гелия, подогреваемом снизу [6].

При возникала роликовая конвекция, затем при устанавливался режим простои периодической модуляции теплового потока, дальнейшее увеличение подогрева приводило к последовательной смене режимов — в спектре появлялись субгармоники, кратные частоте периодического движения: 1/2/, 1/4/ и т. д. (рис. 23.1 а и б). Затем (при ) спектр из дискретного становился сплошным, но в нем оставалось большое число пиков на частотах Эволюция этого спектра при последующем увеличении также происходила дискретными шагами. Наблюдались обратные бифуркации удвоения — при каждой очередной бифуркации число пиков уменьшалось,

Рис. 23.1. Спектр мощности теплового потока при конвекции в слое жидкого гелия: а, б — удвоение периода при увеличении числа Рэлея до момента перехода к турбулентной конвекции; в — шумовой спектр (за точкой перехода)

а оставшиеся уширялись (пики в спектре исчезали тем быстрее по чем выше был соответствующий им номер субгармоники). Пояснить происхождение термина «обратная бифуркация удвоения» можно следующим образом: после прохождения критической точки в фазовом пространстве исследуемой системы возникает аттрактор, который при располагается как бы на витках «ленты», которая, непрерывно уширяясь (таким образом реализуется экспоненциальная расходимость траекторий, принадлежащих аттрактору), в некоторый момент времени складывается по ширине вдвое (см. рис. 22.16) и замыкается на себя (таким образом осуществляется возвращаемость). При число витков ленты становится вдвое меньше, при вчетверо меньше и т. д., т. е. как бы «размытые циклы» удвоенного периода передают свою устойчивость более чем вдвое размытым «циклам» вдвое меньшего периода. Эти обратные бифуркации также обладают свойствами универсальности

Гидродинамическое течение лишь в весьма узкой области параметров сводится к одномерному отображению в виде параболы. При изменении параметров отображение часто усложняется или становится неодномерным (см. § 22.6). Поэтому неудивительно, что в реальных течениях параллельно с цепочкой бифуркаций удвоения одного периодического движения могут, например, появляться и исчезать другие движения с несоизмеримым периодом. Подобную возможность иллюстрирует рис. 23.2 [8], на котором представлен спектр скорости конвективного течения в точке. Рис. свидетельствуют о возникновении турбулентной конвекции за счет последовательности удвоений периодического движения периода Режим существенно непериодической конвекции представлен на рис. 23.2 д Нам сейчас особенно интересен рис. 23.2 е, на котором представлен спектр течения при том же значении числа Рэлея, что и на рис. 23.2 в которое возникло при других начальных условиях — при движении со

Рис. 23.2. Удвоение периода и гистерезис, наблюдавшиеся при переходе к турбулентности при термоконвекции в ячейке; спектры на рисунках е и в получены при одинаковом числе Рэлея, но при различных начальных условиях; спектрам а-е соответствуют значения равные 21,0; 26,0; 27,0; 28,0; 36,9; 27,0 соответственно

стороны больших чисел Рэлея. Видно, что появилась другая, несоизмеримая с частота взаимодействие которой с и ее гармониками и субгармониками существенно усложнило спектр течения. В фазовом пространстве при этом существует, по-видимому, двумерный тор, бифуркации которого и описывают изменение характера течения в этом случае.

Переход к стохастичности от режима биений. Разрушение двумерных торов. Характер перехода к турбулентности, как уже отмечалось, существенно зависит от геометрии течения. В частности, для конвективного течения в ячейке принципиальными оказываются ее размеры.

Рис. 23.3. Различные пути возникновения турбулентной конвекции в ячейке (изменялись число прандтля и размеры ячейки А — статический режим; В — режим синхронизации мод, С — хаотический режим): а — возникновение турбулентного режима в результате последовательности бифуркаций удвоения ; в — разрушение трехмерного тора разрушение двумерного тора

Так, в экспериментах [8] с водой (при температурах от 10 до 90° С число Прандтля меняется от 9 до 2) при изменении геометрии плоской горизонтальной ячейки наблюдалось несколько качественно различных путей возникновения хаотической конвекции. Схематически они изображены на рис. 23.3 [8]. При увеличении числа Рэлея кроме последовательности удвоений наблюдались также переходы типа стационарное состояние — периодическая конвекция — квазипериодическая конвекция (с двумя или тремя несоизмеримыми частотами) — хаотическая конвекция.

Переход от двухчастотного квазипериодического режима к хаотическому обычно осуществляется через режим синхронизации мод с несоизмеримыми частотами и последующим исчезновением или потерей устойчивости возникшего периодического движения. Здесь сейчас известны два пути: 1) возникший на двумерном торе в результате синхронизации предельный цикл испытывает последовательность бифуркаций удвоения периода — этот путь исследован экспериментально в работе [10] и теоретически обнаружен в [11]; 2) возникшие на двумерном торе в результате синхронизации устойчивый и седловой циклы сливаются и исчезают. При этом свойства стохастического множества определяются либо гомоклинической структурой, принадлежащей седловому циклу, либо сложной многоскладчатой структурой самого тора [12].

Возникновение турбулентности при разрушении трехчастотного квазипериодического режима. Разрушение трехмерного тора — один из возможных путей перехода к турбулентности в закрытых течениях

Рис. 23.4. Волны модуляции на вихрях Тейлора в течении Куэтта между цилиндрами при вращении внутреннего цилиндра

— ячейках и полостях. Помимо уже упоминавшейся термоконвекции [9, 17] такой переход наблюдался [12] в течении Куэтта между цилиндрами при вращении внутреннего цилиндра. При увеличении скорости вращения цилиндра (при этом увеличивается число Тейлора или пропорциональное ему число Рейнольдса) на вихрях Тейлора развиваются возмущения в виде изгибных азимутальных волн вида (рис. 23.4), где характеризует число вихрей Тейлора (номер моды по вертикали), а и — число длин волн, укладывающихся на тороидальном вихре. Из спектров мощности скорости, представленных на рис. 23.5, видно, что при увеличении скорости вращения периодический режим азимутальных колебаний сменяется двупериодическим (биения), затем возникает третья частота и спектр колебаний резко уширяется. Бифуркация разрушения трехмерного тора с возникновением притягивающего стохастического множества — странного аттрактора, соответствующая такому переходу, сейчас найдена математиками [14].

Переход через перемежаемость. Также в экспериментах с термоконвекцией в ячейке, но при больших числах Прандтля (для трансформаторного масла, например, число Прандтля может быть равно нескольким сотням) был обнаружен совершенно иной путь перехода к нерегулярному течению [15]. При увеличении числа Рэлея периодический режим конвекции сменялся режимом с редкими случайными всплесками, перемежающимися длительными регулярными участками, затем (с ростом ) эти всплески становились все чаще и течение превращалось

(см. скан)

Рис. 23.5. Переход к турбулентности в цилиндрическом течении Куэтта (путем разрушения квазипериодического режима азимутальных колебаний

в нерегулярное (см. осциллограммы на рис. 22.21а). Математическим образом такого перехода является бифуркация слияния устойчивого и неустойчивого предельных циклов, сопровождающаяся появлением странного аттрактора (см.гл. 22).

Проиллюстрированные сейчас пути возникновения турбулентности

далеко не исчерпывают всех возможностей даже для течений в полостях и ячейках — внутренних течений. Легко сообразить, что всякое усложнение геометрии, например, переход от тонкой конвективной ячейки к толстой, от цилиндрического течения к сферическому и т. д., должно привести к появлению новых осциллирующих мод течения, которые, вообще говоря, не всегда синхронизуются друг с другом. При этом в спектре предтурбулентного режима могут присутствовать не только три, но и четыре и более несоизмеримых частот [16]. Таким образом, предложенная Ландау модель возникновения турбулентности, основывающаяся на последовательном появлении (при увеличении или Т) в спектре течения новых несоизмеримых частот, на первом этапе перехода оправдывается, однако турбулентность возникает все-таки не благодаря такому усложнению движения, а из-за разрушения квазипериодических движений (-мерных торов) и возникновения в фазовом пространстве аттракторов, характеризуемых экспоненциальной неустойчивостью почти всех принадлежащих им траекторий.