Глава 19. Стационарные ударные волны и солитоны

19.1. Структура разрыва

Что будет после того, как на профиле простой волны возникнут бесконечные градиенты? В разных физических ситуациях ответ различен. Например, если это волна на поверхности жидкости, то она просто обрушится, превратившись в брызги; если это поток невзаимодействующих частиц, то в профиле волны возможна неоднозначность — после образования «разрыва» в основном потоке образуется несколько разных потоков, движущихся с существенно разными скоростями (многопотоковость). Для звукового же или электромагнитного поля, где неоднозначность недопустима, дальнейшее развитие нелинейной волны зависит от того, какие эффекты будут преобладать в области быстрого изменения поля — диссипативные или дисперсионные. Анализом бегущих волн в нелинейных средах с диссипацией и дисперсией мы сейчас и займемся.

Когда диссипативные, нелинейные и дисперсионные добавки в исходных уравнениях, описывающих распространение волн, одного порядка величины и малы по сравнению с линейными членами, нетрудно, воспользовавшись методом возмущений, получить уравнение одноволнового приближения

Частными случаями этого уравнения являются уравнения Кортевега-де Вриза (при v = 0) и Бюргерса (при ) — канонические уравнения теории нелинейных волн (см. гл. 18). Многие результаты этой главы будут получены именно для уравнения (19.1).

Начнем с рассмотрения -модели линии передачи типа изображенной на рис. 18.4 а, но с добавлением в нее элементов, позволяющих учесть дисперсию и диссипацию Получившаяся эквивалентная схема приведена на рис. 19.1. Исходными служат теле

Рис. 19.1. Эквивалентная схема линии передачи — модель нелинейной среды с диссипацией и дисперсии

графные уравнения

Перепишем последнее уравнение в виде

и, предположив далее, что воспользуемся этим. При , т. е. при можно в скобках заменить нулевым приближением; в итоге получим

При будем искать решение в виде волны, в которой и I связаны, как и в линейной среде: Подставив связь для бегущей вправо волны найдем уравнение

Это уравнение обычно записывают в иной форме — в уравнении нулевого приближения, т. е. в уравнении простой волны, заменяют на — что дает

Наконец, переходя в движущуюся со скоростью систему координат, находим

В нашем случае . Полученное уравнение совпадает с эталонным уравнением (19.1) одноволнового приближения.

В предыдущей главе мы установили, что в нелинейной среде без диссипации и дисперсии происходит непрерывное увеличение крутизны профиля распространяющейся волны и образование разрыва — области бесконечно быстрого изменения физических величин во времени и пространстве [1-3]. Чтобы разрыв сохранялся в процессе распространения волны, как мы видели, необходима диссипация энергии на разрыве, обеспечивающая необратимость процесса нелинейной эволюции. На спектральном языке это означает направленность потока энергии в область высоких частот, в которой существенны потери энергии.

Таким образом, лишь благодаря высокочастотной диссипации разрыв может быть устойчивым. Выясним, пока качественно, как влияет на разрыв дисперсия.

Фазовая скорость генерируемых нелинейностью гармоник даже при слабой дисперсии несколько отличается от скорости основной волны. Для достаточно высокого номера гармоники это различие оказывается столь сильным, что она уже не будет в резонансе с собственной волной среды и ее амплитуда остается малой (пропорциональной нелинейности). Участие такой волны в процессе пренебрежимо мало, и спектр нелинейной волны в результате оказывается ограниченным. На пространственно-временном языке это означает то, что ширина области быстрого изменения поля будет конечной. Таким образом, дисперсия также ограничивает ширину разрыва.

Естественно, что при ограниченном числе гармоник, образующих нелинейную волну, в среде без дисперсии уже невозможен необратимый процесс деформации профиля волны. Энергия, запасенная вначале (при t = 0 или при х = 0) в первой гармонике, переходит в энергию конечного числа гармоник. Затем ввиду консервативности системы она собирается обратно, после чего вновь передается гармоникам и т. д. (предполагается, что хаотизации фаз гармоник и необратимого перемешивания не происходит — об этом речь впереди). Таким образом, деформируемая в результате действия нелинейности синусоидальная волна в процессе распространения должна восстанавливаться, затем ее профиль вновь искажается, после чего все повторяется.

Однако при определенных соотношениях между амплитудами и фазами взаимодействующих гармоник обмена энергией между ними может не происходить (в соответствующем фазовом пространстве это состояние равновесия). С подобными решениями мы встречались, например, при анализе взаимодействия синусоидальной волны и ее второй гармоники в слабонелинейной среде (см. гл. 17). Такому спектральному равновесию в реальном пространстве соответствует волна, профиль

которой не меняется в процессе распространения. Это — стационарная полна. Скорость V распространения стационарной полны постоянна, поэтому решения в виде стационарных ноли описываются уравнениями в обыкновенных производных, аргументом в которых служит бегущая координата

Стационарные волны — весьма частный класс решений, однако их роль в теории нелинейных волн чрезвычайно велика. Это связано, конечно, и с простотой их отыскания (интегрирование уравнений не в частных, а в обыкновенных производных), и, что более важно, с тем, что волны, близкие к стационарным, возникают в результате эволюции широкого класса нестационарных возмущений. Причем такая устойчивость стационарных волн характерна не только для систем с диссипацией, но и для консервативных систем; замечательный пример этому — устойчивость солитонов. Добавим, что, зная решения в виде стационарных волн, можно исследовать и нестационарные, но локально (во времени и пространстве) близкие к ним решения [4-6].

Вернемся теперь к основной модели (19.1) и исследуем качественно возможные решения при наличии потерь в среде Диссипация, как уже говорилось, делает процессы необратимыми.

Ясно, что при очень малых потерях решения уравнения (19.1) изменятся мало но сравнению с консервативным случаем. Диссипация (как и дисперсия) приводит к некоторому расплыванию профиля волны и в конечном итоге может уравновесить нелинейное увеличение крутизны профиля. При этом разрыв приближенно можно считать стационарным: он распространяется с постоянной скоростью, почти не меняя формы.

Учет высокочастотных диссипации и дисперсии позволяет исследовать характер изменения поля на фронте ударной волны, т. е. структуру разрыва, в рамках приближения стационарной волны. Поскольку вне ударного фронта все переменные в среде меняются очень медленно, можно считать, что они вообще остаются постоянными, т. е. этим значениям соответствуют состояния равновесия на фазовой плоскости системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающей стационарные волны. Тогда задача исследования структуры фронта ударной волны сводится к нахождению той единственной фазовой траектории, которая соединяет эти состояния равновесия.

Если в уравнении (19.1) перейти к бегущей координате то поскольку при получим

Модель (19.2) можно рассматривать как нелинейный осциллятор с затуханием, где аналог времени, а и — координата материальной точки. Уравнение потенциальной «ямы» имеет вид . Состояния равновесия находятся в точках Для определения типа состояний равновесия составим характеристическое уравнение (предполагалось, что . Отсюда состояние равновесия седло, а узел при и фокус, если Фазовые портреты для различных значений у и соответствующие им изменения поля на фронте ударной волны приведены на рис. 19.2. Зависимости и от на всей оси получаются из аналогии модели (19.2) с нелинейным осциллятором [6]. Решение начинается при затем материальная точка, попав в потенциальную «яму», колеблется в ней с затуханием, пока не достигнет значения при

Рис. 19.2. Вид «потенциальной ямы», фазовые потреты и картины распространения ударных волн для разлиных значений — в волне нелинейных осцилляций; в ударная волна без осцилляций

Проанализируем структуру разрыва не в рамках модели (19.1), а непосредственно для среды, эквивалентная схема которой приведена на рис. 19.3. По определению ударной волны длительность фронта мала по сравнению с характерными временными и пространственными масштабами изменения напряжения и тока (которые зависят от среды) вне резкого перепада в ее профиле. Это позволяет разделить «быстрые»

и «медленные» движения и, выделив область быстрого изменения соответствующих величин, исследовать структуру этой области (структуру фронта ударной полны), считая волну стационарной [6-8]. Исходными для нас будут телеграфные уравнения

где — ток, напряжение, погонный поток индукции и погонный заряд в линии. Связь между этими величинами в общем случае выражается интегродифференциальными уравнениями типа

Будем считать, что поток Ф связан с током квазистатически (рис. 19.36), и, следовательно, дисперсия определяется индуктивностью на рис. 19.3 а. Для этой схемы

Рис. 19.3. Эквивалентная схема линии передачи с временной дисперсии (а) и зависимость (б)

Перейдем в систему координат, движущуюся со скоростью разрыва . Тогда все величины зависят лишь от одной переменной из (19.3) следует, что

Дифференцируя (19.7) по и используя (19.5) и (19.6), находим

Проинтегрируем (19.8) по от до текущей координаты внутри области разрыва. Тогда окончательно получим

где Координаты состояний равновесия и скорость перемещения разрыва связаны условием

Это уже известное нам граничное условие на разрыве (ср. (18.27)). Оно допускает простую графическую интерпретацию (рис. 19.36): , где а — угол наклона прямой, соединяющей точки 1 и 2 по разные стороны от перепада кривой Соответствующее (19.9) характеристическое уравнение при условии имеет

где Особая точка — всегда седло она соответствует «основанию» волны. Особая точка соответствующая «вершине» волны, — либо фокус, когда либо узел, когда Когда диссипации нет, т. е. то из (19.8) имеем

Если представить зависимость двумя параболами, то получим, что и

откуда , где . В этом случае особая точка — центр. Все описанные ситуации собраны на рис. 19.4 [6]. Полученные результаты для конкретной модели вполне соответствуют результатам качественного исследования уравнения (19.1) одноволнового приближения.

В линии с пространственной дисперсией, т. е. при нелокальной связи погонного потока Ф и заряда с током и напряжением, скорость

Рис. 19.4. Фазовые портреты стационарных волн в линии с временной дисперсией: а — случай сильного затухания; б - случай, когда диссипации в линии нет; в — случай слабого затухания — структура фронта волны и фазовый портрет

ударной волны может быть меньше групповой скорости возмущений, возникающих в области фронта ударной волны. В результате осцилляции обгоняют фронт и в стационарной волне наблюдаются у подножия волны — на переднем участке фронта. Если, например, в линии передачи, схематически представленной на рис. 19.3 а, ввести индуктивную связь между ячейками, то приближенно для систем с малыми (по сравнению с пространственным масштабом возмущения) ячейками можно считать, что

где М — коэффициент, учитывающий индуктивную связь между последовательными ячейками (для простоты считаем, что L = 0, см. рис. 19.3 а). В этом случае (19.3) с учетом (19.12) превращается в уравнение (см. [8])

При фазовые портреты для уравнения (19.13) подобны фазовым портретам на рис. 19.4 — влияние пространственной дисперсии на структуру ударной электромагнитной волны качественно такое же,

Рис. 19.5. Фазовые портреты и структура фронта ударной электромагнитной волны в линии с пространственной дисперсией: а — случай сильного затухания; б - случай слабого затухания

как и временной. Но при и достаточно малом особая точка становится неустойчивым фокусом (рис. 19.56). Колебания возникают перед фронтом ударной волны (рис. 19.56) — в этом случае групповая скорость осцилляций больше Стационарные ударные электромагнитные волны детально исследованы экспериментально, например, в коаксиально-спиральном волноводе, заполненном ферритом, и в многозвенных искусственных линиях [7, 8].