22.2. Стохастическая динамика одномерных отображений

Как мы видели в гл. 15, исследование поведения динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями (см. § 15.3), существенно упрощается, если от системы с непрерывным временем перейти к системе с дискретным временем. Такой переход осуществляется с помощью введения отображения секущей поверхности, разрезающей фазовый поток, в себя. При этом от дифференциальных уравнении мы переходим к разностным. Использование метода точечных отображении особенно удобно при анализе стохастического поведения динамических систем. Во-первых, как уже говорилось в гл. 15, эффективно понижается размерность фазового пространства и, кроме того, из процесса рассмотрения исключаются регулярные компоненты, не дающие стохастичности, но усложняющие описание — это, в частности, движение вдоль траектории, принадлежащей стохастическому множеству. Добавим, что для анализа стохастического поведения на основе отображений в математике развиты специальные методы — методы символической динамики [5, 6]. Их основная идея заключается в кодировании траектории последовательностью символов из некоторого набора, т. е. становятся дискретными не только моменты времени, в которые определяется состояние системы, но и сами состояния.

Мы ограничимся обсуждением только одномерных отображений. Это вызвано двумя причинами: во-первых, их можно исследовать достаточно подробно без привлечения численного моделирования на ЭВМ, а во-вторых, к одномерным отображениям (а точнее к почти одномерным) сводится исследование и двумерных отображений, обладающих таким свойством: в одном направлении элемент секущей поверхности Е в результате действия отображения сильно сжимается, а в другом растягивается (так называемое свойство гиперболичности отображения) (рис. 22.5). В системе с таким отображением, если достаточно долго подождать, почти все точки соберутся вблизи одной или нескольких линий, и их дальнейшее поведение можно описывать, пользуясь анализом одномерного отображения этих линий в себя.

Рассмотрим невзаимнооднозначное растягивающее отображение отрезка в себя. Основываясь на чисто качественных соображениях и внимательном анализе фазовых портретов, мы в начале главы пришли к тому, что для существования в ограниченной области фазового пространства сложного, запутанного поведения необходимо, чтобы, с одной стороны, все или почти все траектории были неустойчивы, а с другой —

Рис. 22.5. Сжатие начального фазового объема в одном направлении и растяжение в другом

Рис. 22.6. Невзаимнооднозначное отображение отрезка в себя: а — растягивающее кусочно-линейное; б — гладкое

изображающая точка не покидала данной области, т. е. нужна еще возвращаемость траекторий. Проще всего удовлетворить этим условиям, потребовав, чтобы система описывалась невзаимнооднозначным растягивающим отображением отрезка в себя, например таким, график которого показан на рис. 22.6а. Неустойчивость любой траектории здесь связана с тем, что везде т. е. отображение растягивающее.

Покажем, что движение динамической системы, описываемое растягивающим отображением отрезка в себя, может быть представлено как случайная последовательность. Для простоты записи будем говорить не об отображении рис. 22.6 а, а об аналогичном ему отображении рис. 22.7 а.

Воспользуемся методами символической динамики [10]. Для этого разобьем фазовое пространство на конечное число областей и предположим, что физический прибор показывает нам только, в какой из областей в данный момент находится изображающая точка. Тогда каждой начальной точке отвечает последовательность

Рис. 22.7. Разрывное растягивающее отображение отрезка в себя: а — исходное отображение; б - двукратное отображение

областей, через которые проходит ее траектория в последующие моменты времени. Если движение периодическое, то чередование различных Д; также будет периодическим; если движение стохастическое, то последовательность Д» должна быть случайной. В случае отображения, представленного на рис. 22.7 а, областей можно взять всего две: — для интервала — для интервала

Теперь заметим, что если численную координату точки записать, скажем, не в десятичной, а в двоичной форме, то наше отображение можно записать аналитически:

где означает дробную часть числа (иногда вместо (22.4) используют другую форму записи: Например, на число это отображение действует просто как сдвиг (сдвиг Бернулли) и переводит его в число То, что число получается бесконечным только в одну сторону и сдвиг, следовательно, односторонний, связано с необратимостью преобразования.

Если координата х — число рациональное, то, начиная с некоторого символа (например, последовательность нулей и единиц будет повторяться: это -кратная периодическая точка отображения. Нетрудно проверить, что множество периодических точек у нашего отображения является плотным и бесконечным и что точки этого множества все

неустойчивы. Здесь открывается свойство, типичное для всяких странных аттракторов: внутри ограниченной области, откуда траектории не выходят, имеется счетное множество неустойчивых циклов, «перебрасывающих изображающую точку одну в другую».

Убедиться, что растягивающее отображение отрезка в себя имеет счетное множество неустойчивых периодических точек, проще всего, построив последовательные итерации этого отображения (рис. 22.76): при двукратном применении отображения неподвижных точек будет уже четыре, при трехкратном — 23 и т. д. По этому поводу имеются математические теоремы, из которых, в частности, следует, что если непрерывное (в том числе и не гладкое) растягивающее отображение отрезка в себя имеет цикл периода три, то оно имеет цикл с любым периодом [8]. Известно [9], что задаваемые (22.4) последовательности нулей и единиц будут периодическими лишь для множества рациональных чисел, а для почти всех иррациональных, т. е. большинства точек отрезка , эта последовательность будет случайной в том же смысле, что и последовательность выпадения «орла» или «решки» в классическом вероятностном эксперименте с подбрасыванием монеты.

Таким образом, движения динамической системы, описываемые отображением типа рис. 22.6 а и 22.7 а, действительно сводятся к случайной последовательности, т. е. являются стохастическими. Стохастические характеристики отображения, приведенного на рис. 22.6 а (или 22.7 а), находятся совсем просто. Непосредственно из формулы отображения следует, что после однократного отображения начальная плотность вероятности, заданная на отрезке преобразуется в плотность

где суммирование проводится по всем ветвям функции Смысл этой связи таков: начальное распределение становится в раз менее плотным (отображение растягивающее), но в одни и те же интервалы отрезка попадают после преобразования точки из нескольких участков исходного отрезка (отсутствие взаимной однозначности). Отображения типа рис. 22.6 а и 22.7 а имеют инвариантное распределение вероятности которое, очевидно, может быть найдено из условия должно удовлетворять уравнению

Для кусочно-линейных отображений вида как можно убедиться прямой подстановкой, Полагая (из условия нормировки полной вероятности на согласно (22.2), (22.3) находим для отображения (22.4) среднее дисперсию и корреляционную функцию [3]

Видно, что в вашем случае корреляции со временем спадают экспоненциально. Показатель экспоненты, т. е. показатель Ляпунова, характеризующий скорость спадания корреляций (одновременно и скорость разбегания траекторий), — это энтропия Колмогорова-Синая. В данном случае энтропия

Возможна ли стохастичность в системах, сводящихся не к разрывным отображениям типа рис. 22.6 а, а к гладким, как, например, на рис. 22.66? Да, но не всегда.

Обратимся к отображению, а точнее к семейству отображений зависящему от параметра

При значении параметра точка максимума является прообразом неустойчивой неподвижной точки (точка является последующей для ). Если сделать замену переменной то отображение (рис. 22.66) при превратится в кусочно-линейное отображение (рис. 22.6 а):

для которого, как мы показали, инвариантное распределение вероятностей существует. Отсюда следует, что при и для отображения (рис. 22.66) тоже существует инвариантное распределение вероятностей. Плотность этого распределения равна