18.4. Слабые ударные волны. Граничные условия на разрыве

После образования разрыва или ударной волны (см. гл. 19) уравнением (18.1) или (18.20) для описания процесса распространения волны в нелинейной среде без дисперсии пользоваться же, вообще говоря, нельзя. Однако если разрыв занимает очень узкую область в пространстве, то, поскольку вне области разрыва решения гладкие, естественно попытаться сохранить для описания эволюции волны уравнение (18.1), исключив из рассмотрения область разрыва, заменяя ее подходящими граничными условиями. По идее этот подход аналогичен введению быстрых и медленных движений при анализе релаксационных колебаний (см. гл. 14).

Для получения граничных условий исходные уравнения типа (18.19) следует записать в виде законов сохранения:

Если теперь считать разрыв бесконечно тонким, то его распространение следует характеризовать лишь одной скоростью . Двигаясь

Рис. 18.7. К определению скорости разрыва траектория разрыва)

со скоростью разрыва, проинтегрируем (18.23) в его малой окрестности по

Воспользовавшись затем формулой Грина, перейдем к интегралу по контуру

Выбирая контур, как на рис. 18.7, и имея в виду, что разрыв бесконечно тонкий, находим из (18.24)

Здесь учтено, что разрыв движется по траектории, задаваемой равнением индексы 1 и 2 обозначают физические величины соответственно до и после разрыва. Ввиду произвольности пределов интегрирования в (18.25) необходимо потребовать равенство нулю подынтегрального выражения, т. е. потребовать, чтобы выполнялось равенство

Это и есть искомые граничные условия на разрыве.

Если известны изменения физических переменных на разрыве, то из (18.26) можно определить скорость разрыва. Приведем в качестве примера распространение волны в линии передачи с нелинейной емкостью (см. рис. 18.4 а) [11]. Соответствующие уравнения (18.11) уже имеют вид законов сохранения. Нам остается их только проинтегрировать вдоль траектории разрыва:

Полагая, что «амплитуда» разрыва известна (например, равна амплитуде запущенной в линию начальной волны) найдем скорость распространения разрыва:

Аналогично получаются, например, граничные условия на разрыве, появляющемся при распространении плоской электромагнитной волны в полупространстве, заполненном ферритом с зависимостью магнитной индукции от поля как на рис. 18.8 а:

— диэлектрическая проницаемость среды, с — скорость света) [10]. Рекомендуем читателю получить эти выражения самостоятельно.

Рис. 18.8. К расчету энергии, диссипируемой на фронте ударной волны: а — нелинейная характеристика среды, соответствующая эволюционному разрыву; б — потери энергии за время

Поскольку малые возмущения перед разрывом движутся медленнее разрыва (для определенности мы говорим о ситуации, когда разрыв образуется на переднем фронте волны), т. е. разрыв догоняет и поглощает их, а двигающиеся за разрывом догоняют его (и также исчезают на нем), полная энергия волны с разрывом должна со временем уменьшаться. Другими словами, разрыв может устойчиво существовать, лишь если он диссипирует энергию. Покажем это на уже упоминавшемся примере с плоской электромагнитной волной в нелинейной среде, заполненной ферритом.

Закон сохранения энергии в диэлектрическом объеме запишем в виде где . Без ограничения общности можно считать, что поля перед разрывом равны нулю (рис. 18.86). Рассмотрим изменение энергии в области разрыва за время Для этого запишем баланс энергии в заштрихованном объеме

на рис. 18.86. Запасенная энергия

поступившая энергия

Мы здесь учли граничное условие на разрыве Воспользовавшись соотношениями

находим, что

Легко сообразить, что если функция (рис. 18.8 а) является выпуклой, то эта разность всегда будет положительной. Диссипируемая на разрыве мощность

или в общем случае

В принципе можно построить и такое разрывное решение исходных нелинейных уравнении, на котором диссипации энергии происходить не будет, но тогда, как сравнительно просто показать, разрыв будет неустойчивым [12, 13]. Все разрывы, возникшие в результате опрокидывания простои волны (математики их называют эволюционными), устойчивы, и на них диссипация энергии положительна.