Глава 9. Энергия и импульс волн

9.1. Уравнение переноса усредненной плотности энергии для волнового пакета в диспергирующей среде

Волны, как и всякий движущийся объект, переносят энергию в процессе своего распространения. Энергия эта самая разная в зависимости от природы волн: весьма значительная — у морских волн, перемещающих при шторме огромные каменные глыбы, сравнительно небольшая — у электромагнитных световых волн, доходящих до Земли от Солнца (мощность на поверхности около Подобно движущимся частицам, волны обладают импульсом. Хотя существование импульса у волны не может вызвать сомнений, проявляется он менее заметно, чем энергия волны; например, световое давление потока излучения Солнца на орбите Земли составляет очень малую величину — всего Па [1, 2].

Мы в этой главе получим уравнения, описывающие перенос энергии и импульса волн в диспергирующих средах [3-6].

При выводе уравнения переноса энергии поступим, как и при выводе уравнения эволюции волнового вектора (см. гл. 8): откажемся от использования интеграла Фурье. Будем исходить из уравнения Клейна-Гордона с постоянными коэффициентами [3]:

Умножая обе части (9.1) на получаем

Прибавим к левой части получившегося уравнения (9.2) слагаемое отнимем в точности такое же. Легко видеть, что

С учетом сделанных преобразований получаем уравнение, выражающее закон сохранения энергии, в виде

где сумма имеет смысл плотности энергии, — потока энергии.

Рассмотрим теперь группу волн (или, как часто говорят, волновой пакет), медленно изменяющуюся в пространстве и во времени. Для такой группы волн

где Используя (9.4), вычисляем плотность энергии и плотность потока энергии. Очевидно, что

тогда поскольку из-за медленности изменения а и слагаемыми, содержащими можно пренебречь. В тех же приближениях легко вычислить остальные слагаемые, входящие в плотность энергии, что окончательно дает

где учтено, что . Аналогично для плотности потока энергии

Если вместо (9.1) взять уравнение, которое содержит производные более высокого порядка, то очевидно, что при их вычислении с учетом (9.4) появятся дополнительные слагаемые, содержащие производные и к. Однако, поскольку мы рассматриваем медленно изменяющийся волновой пакет, шик тоже медленно изменяются, и этими слагаемыми можно пренебречь. Рассмотрим средние за период значения выражений (9.5) и (9.6). Это оправданно: интересны заметные (средние) изменения , а не мелкие осцилляции и их детали. Итак,

для средних значений плотности энергии и плотности потока энергии в рамках сделанных допущений получаем

Из (9.1) следует дисперсионное уравнение задачи

С учетом (9.9) соотношения (9.7) и (9.8) принимают следующий окончательный вид:

По определению поэтому из (9.9) получаем

Из соотношений (9.10)-(9.12), используя (9.9), находим, что

Общность этого выражения уже отмечалась в гл. 8.

Возвращаясь к (9.3) и основываясь на (9.13), можно предположить, что закон сохранения средней плотности энергии выражается дифференциальным уравнением

В [3] показано, что это уравнение соответствует ситуации, когда полная энергия между двумя прямыми на плоскости остается постоянной. Для доказательства рассмотрим выражение для энергии

где точки, которые движутся со скоростями Очевидно, что

причем эта величина, как следует из (9.14), равна нулю. Не менее очевидно, что (9.16) в пределе при превращается в (9.14).

Выражение для усредненной плотности энергии можно представить в виде Подставим это выражение в (9.14); тогда

Но, как показано в гл. 8 поэтому

Полученные соотношения типа (9.14) и (9.17) легко распространить на многомерные задачи. Такое обобщение для уравнения Клейна-Гордона и уравнения приведено в [3]. Уравнение, характеризующее перенос усредненной плотности энергии волновым пакетом в средах с заданной дисперсией, имеет вид

Изложенные результаты оставляют чувство неудовлетворенности оттого, что они получены для конкретного уравнения. Дж. Уизем показал [3] справедливость «усредненного вариационного принципа» непосредственно для функций результатом применения которого является уравнение (9.18).