Б. ЭНТРОПИЯ

8. ЭНТРОПИЯ КАК ФУНКЦИЯ СОСТОЯНИЯ

До сих пор при рассмотрении машины Карно мы считали количества тепла положительными: отнималось из верхнего резервуара, подводилось к

нижнему резервуару. С этого момента мы должны принять последовательный подход к знаку принимается положительным, если тепло подводится к рассматриваемому телу, и отрицательным, если тепло отводится от него к источнику тепла. Тогда уравнение (6.1), относящееся к машине Карно, приобретает вид:

«Если мы разделим воспринятые количества тепла на температуры, при которых они восприняты, и сложим полученные таким образом величины, то их сумма для обратимо протекающего цикла Карно равна нулю». Этот результат позволяет осуществить чрезвычайно широкое обобщение. Пусть вначале в процессе участвуют не два, а некоторое большее число, например , источников тепла с температурами причем температура самая низкая из этих температур. Пусть машина (то есть наше опытное тело) воспринимает из источника при обратимом круговом процессе количество тепла Тогда, мы можем утверждать, что должно иметь место равенство

Доказательство. В конце кругового процесса машина находится в том же состоянии, что и в начале его. Это вытекает из одределения понятия круговой процесс. Согласно закону сохранения энергии мы получили работу:

Теперь между каждым из резервуаров и резервуаром с самой низкой температурой заставим работать еще машину Карно (по одной между каждыми двумя соседними резервуарами) так, чтобы эти машины вновь возвращали каждому резервуару количество тепла Для этого мы должны в соответствии с уравнением (6.2) для резервуара

затратить работу следовательно, в целом затраченная работа равна:

Сумму можно распространить на так как соответствующий член при обращается в нуль. Следовательно,

После проведения процессов (8.2а) и (8.26) мы получили в целом работу

и такое же количество тепла отняли у одного только резервуара Следовательно, если бы сумма (8.1) была положительной, то мы реализовали бы перпетуум мобиле второго рода. Если бы она была отрицательной, то тот же результат имел бы место при обращении работы всех рассмотренных машин. Тем самым условие (8.1) доказано. Если теперь перейти к пределам то уравнение (8.1) можно записать в виде интеграла

для обратимого кругового процесса. Тем самым мы имеем возможность определить новую функцию состояния, а именно энтропию 5. Рассмотрим в пространстве независимых параметров состояния (в простейшем случае в плоскости два состояния нашего тела, которые обозначим индексами и 1 (рис. 13). После этого переведем тело с помощью какого-нибудь обратимого процесса (путь а) из в 1. Пусть энтропия в нулевой точке имеет какое-либо произвольно выбранное значение Определим тогда величину энтропии в точке 1 как

Установленная подобным образом величина действительно представляет собой функцию состояния, т. е. (при постоянном значении она зависит только от значений параметров состояния в точке 1 и не зависит от выбора пути. Тогда уравнение (8.4) для любого другого пути, например должно приводить к тому же самому значению так как согласно (8.3) для замкнутого контура

Рис. 13 не зависит от пути.

С бесконечно малым обратимым подводом тепла в соответствии с (8.4) связано возрастание энтропии на величину

Тем самым первый закон приводится к виду

что является отправной точкой дальнейшего изложения термодинамики.