Главная > Теория теплоты (Беккер P.)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

84. СЛАБО ДЕМПФИРОВАННЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР С ЗАТУХАНИЕМ, ЗАВИСЯЩИМ ОТ ЧАСТОТЫ

а) Общие полооюения

Исходим из уравнения движения

которое усложнено по сравнению с (83.10) в том отношении, что рассматривается как функция частоты. Одновременно в

уравнение (84.1) должно быть введено ограничение, требующее, чтобы

По методу предыдущего параграфа представление в виде интеграла Фурье дает:

Разница с уравнением (83.11) состоит лишь в том, что здесь следует вводить зависящее от частоты значение Простое преобразование этого уравнения возможно лишь в случае слабого затухания. В этом случае в связи с остротой максимума, лежащего вблизи в подынтегральной функции, можно заменить соответственно на Тогда получим

Теперь следует сделать замечание о трении в уравнении движения (84.1). В этом уравнении имеем дело не с произвольным ускорением и не с произвольным затуханием связанным с трением. В уравнении (84.1) скорее предполагается следующее: исходим из некоторого недемпфированного осциллятора Приводим его при температуре в «контакт» с макроскопической средой (например, вязкой жидкостью или же (§ 85) с конденсатором, замкнутым на омическое сопротивление).

Следствием такого контакта является, во-первых, трение, харак теризуемое коэффициентом во-вторых, «статистическое» ускорение Следовательно, как так и определяются наличием контакта. Поэтому выведенная ранее зависимость между должна быть справедливой для любой частоты, в с чем впредь можно заменять на

В уравнении (84.3) удвоенная кинетическая энергия пред ставляет собой одновременно среднюю общую энергию осциллятора, входящего в левую часть уравнения (84.1). Пусть далее уравнение (84.1) относится к заряженной частице с зарядом а ускорение обусловливается -компоиентной напряженности электрического поля Тогда

Следовательно, при таких обозначениях для спектрального распределения напряженности поля имеем:

При этом в области классической физики

Согласно квантовой теории более общим выражением является

При термическом равновесии каждому затуханию вызванному зарядом соответствует электрическое поле, характеризуемое спектральным распределением (84.4). Задавая значения в явном виде для двух частных случаев, из уравнения (84.4) получим известные формулы для излучения абсолютного черного тела и шума сопротивления.

б) Излучение абсолютно черного тела

Пусть осциллятор движется в вакууме. В таком случае единственной причиной затухания является излучение энергии, соответствующее решению Герца уравнений Максвелла. Обусловленное этим излучением затухание равно:

Для того чтобы несмотря на это затухание осциллятор имел среднюю энергию согласно уравнению должно существовать электрическое поле для которого

Для спектральной плотности энергии изотропного излучения абсолютно черного тела из соотношения

получаеми поскольку в среднем квадраты шести компонент напряженности поля равны между собой, и, следовательно,

Здесь плотность энергии, соответствующая интервалу частоты теплового излучения абсолютно черного тела. При определяемом из выражения (84.6), уравнение (84.7) идентично формуле излучения Планка.

в) Шумы сопротивления

Пусть теперь осциллятор находится между пластинами конденсатора, связанными между собой омическим сопротивлением (рис. 117). Пусть а — расстояние между пластинами. Легко увидеть, что в

данном случае возникает Новая причина затухания: движение заряда вызывает ток во внешней цепи, и, следовательно, появление Джоулева тепла естественно за счет энергии движения. Механизм такого затухания заключается в том, что с током I связана разность напряжений напряженность поля, затормаживающего частицу. Для количественного описания этой картины вспомним о том, что заряд находящийся на расстоянии х от пластины индуцирует на пластинах наведенные заряды и Если частица движется со скоростью то Выравнивание этих зарядов во внешней цепи вызывает ток а следовательно, падение напряжения В таком случае тормозящая сила была бы равна

Она всегда противоположна направлению Эта сила дала бы затухание

Рис. 117. Движение заряда между двумя замкнутыми на сопротивление пластинами конденсаторов и .

В действительности соотношения несколько сложнее; если С — емкость конденсатора, то при напряжении мгновенный заряд пластин равен

Ток равен следовательно,

Вследствие зависимость между имеет вид:

Поэтому при периодическом движении материальной точки, введя комплексные амплитуды получим:

Таким образом, средние квадратичные значения дают

Выделение джоулева тепла происходит за счет энергии осциллятора: следовательно,

Для того чтобы несмотря на затухание осциллятор имел среднюю тепловую энергию согласно уравнению (84.4) должна налагаться напряженность электрического поля со спектральным распределением

Поэтому при напряжении спектральное распределение

При усреднении во времени из уравнения (84.10) следует:

Используя в качестве переменной интегрирования имеем:

представляет собой энергию конденсатора, заряженного до напряжения Следовательно, при получим:

Этого результата можно было ожидать с самого начала.

Формула (84.10) представляет собой частный случай впервые” выведенной Найквистом формулы «термического шума сопротивления». Для ее вывода попытаемся лучше понять возникновение термических флуктуаций

1
Оглавление
email@scask.ru