28. ТЕОРЕМА О ВИРИАЛЕ

Рассмотрим систему материальных точек, пространственные координаты которых заданы в виде

Если означает силу, действующую на мате риальную точку, то из уравнения движения системы следует, что:

Умножение на с учетом тождества

Усредненную во времени сумму по всем частицам назовем по Клаузиусу вириалом действующих на частицы сил. При подобном суммировании и усреднении по времени (см. 32) первое слагаемое в уравнении (28.1) как производная по времени обращается в нуль. Далее в соответствии с законом равнораспределения (см. § 33) имеем

Из уравнения (28.1) для нашей системы, состоящей из частиц, получаем теорему о вариале:

В целях применения выражения (28.2) введем специальные допущения относительно сил принятых вначале произвольными. Представим, что наши частицы заключены в заданном объеме V и оказывают на его стенки давление Но это означает, что со стороны элементарного участка поверхности на частицы, расположенные вблизи действует направленная внутрь сила Долю этой оказываемой со стороны поверхности силы в вириале мы назовем «внешним вириалом» Кроме того, частицы испытывают еще взаимные силы притяжения или отталкивания. Их долю мы назовем «внутренним вириалом» В целом, следовательно, уравнение (28.2) можно записать в виде

Идеальный газ характеризуется тем, что его частицы не взаимодействуют друг с другом, в связи с чем В этом случае остается только внешний вириал

который может быть легко вычислен.

На рис. 52 точка О представляет собой центр системы координат. В системе выделен объем У, а также элемент его поверхности. Вследствие давления со

стороны элемента на находящиеся в его непосредственной близости частицы действует суммарная сила нормальная к Вектор для всех этих частиц имеет практически одно и то же значение где означает вектор, направленный от 0 к Если мы отметим штрихом у знака суммы вклад во внешнем вириале, то будем иметь:

но как раз и представляет собой только что определенную силу направленную по нормали внутрь. Если мы таким образом обозначим через компоненту в направлении внешней нормали, то искомый вклад окажется равным — Интегрирование по всей поверхности дает

Рис. 52. К расчету внешнего вириала

Так как окончательно

Наше уравнение состояния (28.3) тем самым получает вид:

При мы снова получим уравнение состояния идеального газа.