43. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ

а) Уравнение Шредингера

Начнем с уравнения Шредингера, которое описывает изменение некоего состояния во времени. Если оператор Гамильтона (всегда эрмитов), то имеет место равенство

Если зависит от времени неявно, то это уравнение в общем случае интегрируется следующим образом:

Используя единичный оператор

таким образом, получаем:

Если какая-либо полностью ортогональная система, то можно разложить в ряд по этой ортогональной системе:

Величина

является в общем случае комплексной, квадрат ее абсолютной величины представляет собой вероятность того, что система находится в состоянии если к нулевому времени она с достоверностью была в состоянии Унитарность приводит к матричному изображению

или

где элемент матрицы «присоединенного» к оператора определяется с помощью выражения

Изменение во времени любой функции может описываться с помощью изменения во времени коэффициентов ее разложения по например

С другой стороны, из

следует также

Поэтому имеет место равенство

Такая запись уравнения Шредингера будет нами использована в § 44 при обсуждении смесей.

б) Изменение параметра во времени

Пусть оператор Гамильтона включает в себя член зависящий от параметра а. Примерами а являются объем сосуда, в котором заключен газ, или действующее на систему магнитное поле. Тогда, естественно, собственные значения и собственные функции являются функциями а, т. е.

Проанализируем вначале зависимость собственных значений от а. Дифференцирование уравнения

Скалярное умножение на приводит к выражению эрмитово)

Отсюда при следует:

При изменении а на приращение собственного значения равно работе, совершенной системой при этом изменении. Отметим еще, что согласно (43.5а) для должно выполняться

Теперь возникает важный физический вопрос: какое изменение претерпевает находящаяся в состоянии система, если мы изменим параметр а с помощью

соответствующего вмешательства? Если бы система при этом вмешательстве осталась в состоянии а ее энергия, следовательно, перешла бы от значения то согласно было бы фактически равно ожидаемому значению совершенной над системой работы. Но вопрос как раз и сводится к тому, не возбуждаются ли совершенно другие состояния системы вследствие изменения а, в связи с чем наша система может вовсе не находиться в состоянии Правда, в этом случае уравнение (43.6) сохранит силу как уравнение, дающее сдвиг энергетических термов, однако оно нисколько не будет отражать действительное поведение системы. Мы увидим далее, что это поведение решающим образом зависит от скорости, с которой производится изменение а. Только при очень медленном изменении выражение с действительно отражает приращение энергии системы.

Для доказательства этого нам нужно проинтегрировать уравнение Шредингера

при изменяющемся во времени параметре а. Для этого разложим по мгновенным собственным функциям оператора

Так как а зависит от будет иметь место

Отсюда согласно (43.7) следует:

а затем после умножения на с использованием уравнения (43.6а)

При этом мы опустили в правой части слагаемое Вследствие ранее сформулированного условия оно может давать самое большее вклад в фазу, но не в значение Применительно к оставшейся еще сумме по предположим, что в случае вырождения для изображения соответствующего собственного пространства выбраны такие векторы для которых элемент матрицы

Как известно, такой выбор всегда возможен. Для интегрирования выражения (43.9) примем, что ко времени возбуждается только один уровень, например т. е. Если будем считать остальные малыми по сравнению с и пренебрегать в уравнении (43.9) слабой зависимостью от времени, связанной с изменением а, то при обычных методах приближения получаем:

первое приближение

второе приближение

Предположим, что параметр а изменяется во времени, увеличиваясь с постоянной скоростью а на за время Тогда Если, следовательно, разложить в уравнении для с правую часть и образовать квадрат абсолютного значения, то, введя обозначение

получим:

Это будет вероятность того, что за время в течение которого изменяется параметр а, произойдет переход из В полученном выражении второй сомножитель зависит от Он практически равен нулю, когда Следовательно, в этом случае выражение согласно уравнению (43.6) определяет совершенную над системой работу.