26. ОБОСНОВАНИЕ БОЛЬЦМАНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТЕЙ МАКСВЕЛЛА И Н-TEOPEMA

Вначале кратко изложим идею рассуждений Больцмана. Пусть ко времени задано произвольное отклоняющееся от условия (25.2а) распределение скоростей которое мы представим в пространстве

скоростей в виде поля точек. Это поле точек с течением времени изменяется. Если две молекулы сталкиваются, то после столкновения они будут иметь другие скорости, чем прежде. Следовательно, соответствующие им точки в момент столкновения исчезают, а в другом месте пространства скоростей возникают две новые точки. Распределение точек в пространстве изменяется во времени. Таким образом, распределение зависит не только от но и от

Для установления временной зависимости выберем в пространстве скоростей малый объем и выясним следующее.

Во-первых, какое число молекул, из содержащихся в пределах объема испытает за небольшой промежуток времени такие столкновения, что по истечении времени они уже не будут находиться в данном объеме (число А).

Во-вторых, какое количество молекул, размещенных вне объема испытает за время столкновения, в результате которых они попадут в выбранный объем (число Оба значения естественно, зависят от функции распределения Если они известны, то, очевидно, справедливо

Для того чтобы распределение было стационарным, должно выполняться Из этого условия определим стационарное распределение. Все сводится к тому, чтобы детально исследовать влияние столкновений на распределение.

Для более краткого способа записи в этом параграфе мы часто будем писать вместо и соответственно вместо Интеграл в форме означает тройной интеграл по пространству скоростей.

Отдельное столкновение. Пусть две молекулы со скоростями сталкиваются так, что после столкновения они имеют скорости Все силы, кроме сил взаимодействия между обеими молекулами, будем считать во время столкновения несущественными. Тогда при заданных значениях могут возникнуть лишь такие значения

и которые удовлетворяют законам сохранения импульса и энергии, т. е. должно выполняться:

Для перехода от параметров со штрихами к параметрам без них существуют, таким образом, инварианты

Для наблюдателя, который движется со скоростью центра тяжести обеих частиц, возникает вообще очень простая картина. Если мы обозначим через наблюдаемые им скорости, то

Тогда согласно (26.2)

В системе центра тяжести каждое столкновение выглядит таким образом, как будто обе частицы с одинаковой скоростью прямолинейно движутся навстречу друг другу, а затем с той же скоростью разлетаются в противоположном направлении. На рис. 49 представлено, как из этой простой картины путем наложения какой-либо скорости центра тяжести возникает сложная картина столкновения.

Закон о числе столкновений. Пусть в начальный момент в единице объема имеется молекул со скоростями молекул со скоростями За некоторое время некоторые из них столкнутся. Промежуток времени выбирается достаточно малым для того, чтобы по его истечении числа не претерпели существенных изменений. Из всех происшедших за время столкновений найдем те, при которых скорость первых молекул после удара лежала бы в пределах

а скорость вторых — в пределах Пусть число таких столкновений будет:

Этот «подход может показаться странным, так как вследствие условия (26.2) величины не могут выбираться произвольным образом, например, согласно равно так что величина интервала независимая от не имеет смысла.

Рис. 49. Столкновение между двумя одинаковыми молекулами. а — наблюдаемое в системе центра тяжести; б - наблюдаемое в системе, движущейся со скоростью в — схема перехода от а к биссектриса угла.

Для уяснения этого затруднения рассмотрим более простую задачу. Пусть на оси х в точке находится материальная точка с массой Пусть мы захотели бы описать этот вид распределения материальных точек с помощью плотности распределения таким образом, чтобы соответствовала массе на отрезке Вначале это кажется совершенно безнадежным, однако цель удается достигнуть с помощью следующего искусственного приема. Заменим массу мысленно сконцентрированную в точке а, массой, непрерывно распределенной в окрестностях а, так, что Ширину этого распределения массы мы можем выбрать меньшей любого наперед заданного, сколь угодно малого отрезка, Если затем

мало по сравнению с этой шириной распределения массы, то величина действительно имеет желаемое значение. Так как по правилам интегрального исчисления впоследствии переходят к пределу то введенная здесь как искусственное понятие рассредоточенность массы не имеет нижней границы.

В этом смысле мы допустим также в условиях сохранения импульса и энергии небольшую «нестрогость», указав, что функция обращается в нуль, когда 12 ее аргументов «заметно» отклоняются от условий (26.2). Но в общем будет постоянной функцией, не зависящей в частности, от . Конечно,· физически ни о каком нарушении уравнения (26.2) нет речи, поскольку эта нестрогость может быть меньше любой наперед заданной величины.

Введенная уравнением (26.3) функция удовлетворяет двум условиям, которые имеют определяющее значение для всех дальнейших рассуждений. Первое условие:

не изменяется, если заменить одновременно на на Это вытекает непосредственно из определения, так как при подобной замене мы изменили бы только нумерацию частиц. Значительно труднее доказать второе условие:

утверждающее, что не изменяется, если поменять значения со штрихами и без штрихов.

Для доказательства условия (26.5) представим, во-первых, наблюдателя, который, двигаясь со скоростью подсчитывает столкновения (26.3). Естественно, он должен получить то же самое их число. Но для него все четыре скорости изменяются, вместо он наблюдает скорость в то время как интервалы сохраняют для него свое значение. Таким образом, Должно выполняться

Во-вторых, представим наблюдателя, оси координат которого каким-либо образом повернуты относительно первоначальных. Например, вместо он измеряет скорость где а символически обозначает угол поворота

вектора. Для него величины интервалов и число столкновений также не претерпевают изменений. Следовательно, также будет выполняться.

Теперь произведем доказательство справедливости выражения (26.5) путем трехкратного преобразования Вначале перейдем к системе координат, движущейся со скоростью центра масс и получим:

где имеют простую конфигурацию согласно рис. 49, а. Затем повернем систему координат вокруг прямой (биссектриса угла на угол 180°. При этом перейдет в так что в результате поворота будет:

Отсюда

Если теперь (это будет третье преобразование), прибавляя снова вернуться к первоначальной системе координат, то в результате получим соотношение (26.5), которое таким образом будет доказано.

Расчет чисел столкновений в соотношении (26.1). Пусть есть число молекул, скорости которых лежат в интервале от до Обозначим через А число таких из них, которые за время благодаря столкновениям с другими молекулами выйдут из этого интервала; но это будут все те из общего числа которые вообще столкнутся за время Этот результат мы можем получить непосредственно из выражения (26.3), если заменить в этом выражении на на а затем проинтегрировать по всем Следовательно,

Обозначим через В число столкновений за промежуток времени в результате которых хотя бы одна из сталкивающихся молекул попадает в интервал Число столкновений, при котором сталкивающиеся молекулы из интервалой и соответственно

переходят в интервалы и соответственно определяется с помощью выражения

Отсюда, интегрируя получим число

Согласно (26.1)

Если теперь применить фундаментальное уравнение (26.5), то после деления на и перехода к пределу будем иметь:

Распределение скоростей. Согласно (26.6) распределение является определенно стационарным, если условие

выполняется для всех значений удовлетворяющих требованиям сохранения энергии и импульса (для любых других значений четырех скоростей подынтегральное выражение обращается в нуль из-за функции Далее покажем, что условие (26.7) необходимо и для равновесия. Вначале используем выражение (26.7) для определения Согласно (26.2) имеются инварианты

т. е. четыре комбинации из которые не изменяются при переходе к параметрам со штрихами. Условие (26.7), следовательно, будет выполнено непременно, если произведение удастся записать в виде функции этих четырех инвариантов:

Однако параметр, который не может быть выражен через указанные четыре инварианта, не может находиться также под знаком функции так как согласно (26.7) этот новый параметр при столкновении должен был бы остаться постоянным. Но это означало бы наличие пятого, несуществующего инварианта, так как все допускаемые инвариантностью и столкновения происходят и в действительности.

Если мы прологарифмируем выражение (26.8), то в левой части окажется сумма где первое слагаемое зависит только от а второе — от Но для правой части это возможно лишь тогда, когда линеен относительно и Тем самым наша проблема разрешена. Если ввести пять произвольных постоянных , то должно выполняться равенство

Используя постоянные другим образом, можно также записать

Таким образом,

Физическое значение этих пяти постоянных следующее. Параметры и, представляют собой компоненты средней скорости, поскольку из уравнения (26.9) следует:

Для наблюдателя, движущегося с такой скоростью, газ, рассматриваемый как одно целое, находится в покое. Для него и

Но это и есть определяемое уравнением (25.2а) распределение Максвелла при температуре если принять

Н-теорема Больцмана. В заключение приведем очень остроумное доказательство Больцмана, показывающее, что уравнение (26.7) действительно должно

выполняться при равновесии. Для этого рассмотрим изменение во времени величины

Для подынтегрального выражения оно дает

Поскольку общее число частиц постоянно, то

Отсюда

Подставляя из уравнения (26.6), получаем:

Это уравнение мы перепишем трижды с другими обозначениями переменных интегрирования, а именно заменяя:

1) на и одновременно на

2) на и одновременно на ;

3) на и одновременно на

При этом согласно (26.4) и (26.5) функция 5 не изменяется, в то время как в случаях 2 и 3 выражение в фигурных скобках меняет свой знак. Если мы теперь сложим все четыре уравнения, то получим:

Сущность этого своеобразного расчета состоит в том, что подынтегральное выражение в правой части никогда не может стать отрицательным, ибо для двух любых действительных положительных величин х и у выражение всегда имеет тот же знак, что и выражение Поэтому величина Н должна обязательно

шаться до тех пор, пока условие (267) оказывается выполненным при любых значениях совместимых с условиями (26.2). Следовательно, если исходить из любого распределения, столкновения в конце концов должны привести к установлению распределения (26.9). Только тогда величина станет постоянной и только тогда состояние будет стационарным. Это и есть содержание -теоремы Больцмана.

Знак времени. Оказывается, что -теорема содержит в себе крайне примечательный парадокс, который давал повод для многих противоречивых суждений. Молекулы газа представляют собой механическую систему, конфигурация которой изменяется во времени согласно уравнениям

Эти уравнения включают лишь вторую, а не первую производную по времени. Следовательно, если представляет собой решение уравнений, т. е. соответствует возможному движению всей системы, то также будет являться решением. В действительности это означает: если бы в определенный момент скорости всех молекул изменились бы на обратные (по команде «кругом марш»), то система стала бы пробегать все более ранние состояния в строго обратной последовательности. Если бы, например, произвести кинематографическую съемку процесса, то полученная таким образом пленка отображала бы процесс, допустимый по основным законам механики как при ее прямом, так и при обратном просмотре. Таким образом, если рассматриваются два каких-либо произведенных в различное время моментальных снимка системы, то принципиально невозможно решить, какой из них ранний, а какой более поздний. И вдруг, исходя из простых, чисто механических уравнений столкновения двух материальных точек, мы получили в -теореме параметр, который со временем изменяется только в одном направлении. Измеряя величину мы можем однозначно различить прошедшее и будущее. Разрешение этого парадокса состоит в том, что при выводе -теоремы мы опирались не только на механику, но, кроме того, положили в его основу закон о числе столкновений (26.3), происходящих за время При неупорядоченности движения молекул в промежуток времени может

исходить и намного большее, и намного меньшее количество столкновений. Благодаря условию (26.3) мы фактически ввели в расчет статистический элемент. Точнее это уравнение следует читать так: если описываемый уравнением (26.3) подсчет столкновений молекул со скоростями будет повторен достаточно много раз, то как среднее всех подсчетов получается результат (26.3). И в этом смысле -теорема справедлива только для средних значений. В статистической механике подробно будет показано, что величина Н уменьшается в подавляющем большинстве случаев.