Главная > Теория теплоты (Беккер P.)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

59. АНАЛОГИЯ МЕЖДУ ИДЕАЛЬНЫМ ГАЗОМ БОЗЕ И РЕАЛЬНЫМ ГАЗОМ

В обоих разделах обнаружилось удивительное сходство в описании идеального газа Бозе, с одной стороны, и рассмотренного с классических позиций реального газа, с другой стороны. Действительно, в § 54, 55 для функции нашли: для идеального газа Бозе

а по Майеру для реального газа

Относительно этих формул можно сказать, что идеальный газ Бозе ведет себя как классический реальный газ, для которого групповые интегралы имеют значение

Разберем этот замечательный факт вслед за Каном и Уленбеком еще и с другой стороны. Для этого будем

исходить из общей формы классического статистического интеграла

Функцию

можем интерпретировать как вероятность того, что отдельные частицы находятся в интервале

Покажем, что для идеального газа Бозе статистическую схематическую сумму

также можно записать в виде

Хотя здесь ничего не говорится о потенциальной энергии, функция описывает обусловленную статистикой Бозе тенденцию частиц к образованию капель, которая проявляется в классическом случае лишь как результат энергетического взаимодействия, описываемого в уравнении (55.1).

Следовательно, наша задача заключается в том, чтобы, исходя из выражения (59.3), получить функцию входящую в уравнение (59.2а).

Если нормированные собственные функции оператора Гамильтона для собственных значений то выражение (59.3) идентично соотношению

Перемена последовательности суммирования и интегрирования дает также

Подынтегральное выражение известно также как «слэтеровская сумма».

Таким образом, мы уже получили зависимость в форме (59.3а), если обозначили

Запишем функции в виде произведения одночастотных функций При условии периодичности в объеме допустимые значения к задаются с помощью целых чисел (§ 47):

Следовательно, число допустимых значений к, лежащих в интервале равно:

Охарактеризуем теперь состояние, соответствующее индексу в уравнении (59.4) с помощью векторов распространения

Каждый из этих означает одно из бесконечно многих значений к, допускаемых уравнением (59.5): пусть среди в уравнении (59.6) встречаются:

Энергия соответствующая равна:

Собственная функция для этой энергии имела бы вид:

Но она не симметрична относительно и не нормирована. Мы будем иметь и то и другое, если примем [сравни (48.5)]:

означает перестановку величин представляет собой то значение которое при перестановке становится на место В уравнение (59.8) входит слагаемых, которые, однако, не все попарно ортогональны, так как при тех перестановках, при которых происходит лишь замена коэффициентов при равных между собой К новых функций не образуется. Поэтому необходимо деление на которое обеспечивает действительное выполнение условия

Согласно (59.8) получим:

где также означает перестановку. Теперь согласно (59.4) имеем:

Если каждому из отдельных независимо от остальных дадим возможность пробегать все допустимые значения, то всегда получим состояние, представленное набором величин по схеме (59.6а).

Однако при этом каждое подобное состояние встречается раз. Следовательно, при независимом суммировании мы должны предварительно умножить каждый член на Таким образом, неприятное выражение к счастью, снова выпадает.

Далее имеется возможность заменить множителем Тогда

Теперь с помощью выражения (59.5а) заменим на Получим:

Тем самым окончательно имеем:

Это и будет приведенная в уравнении (59.4) вероятностная функция для пространственного распределения.

Для полного расчета статистической суммы (59.3) нужно еще проинтегрировать функцию Для этой цели подробнее разберем показатель степени в уравнении (59.9) для произвольно выбранной перестановки в случае

Здесь под каждым из чисел от 1 до 9 стоят те числа, которые после перестановки становятся на их места. Если вместо записать показатель степени в уравнении (59.9) для этой частной перестановки будет иметь вид:

Интеграл в данном случае разлагается на четыре множителя, а именно

Можно также сказать, что такая перестановка имеет несколько циклов, а именно цикл, который состоит из четырех элементов, два цикла, состоящие из двух

элементов, и цикл, состоящий из одного элемента. Если через обозначить вклад цикла из I элементов, а именно

то вклад от выбранных перестановок (59.10) в окажется равным

Отсюда следует общее выражение для одного из слагаемых, входящих в уравнение (59.9):

При этом представляет собой количество циклов с элементами, содержащихся в Тем самым из уравнения (59.9) вытекает

Здесь число перестановок с циклами из

I элементов Тогда сумму следует распространить по всем числовым последовательностям при условии Для оценки суммы нам потребуется еще рассчитать При расчете учтем, что подынтегральное выражение лишь в тех случаях существенно отличается от нуля, когда расстояния лишь немногим превышают длины воли де Бройля. Поэтому при большом V имеем право интегрировать по от до Тогда интегрирование по просто дает множитель В итоге имеем

Для расчета рассмотрим еще раз пример (59.10).

1. Из (59.10) следует, что если поменять последовательность внутри циклов, то получится равнозначное деление на циклы. Так, иапрнмер, можем по выбору записать под цифрой 1—2, или 3, или 4. Это дает комбинаций. Следовательно, в целом имеем множитель

2. Можно произвести замену чисел в различных циклах. Это дает множитель

3. Однако перемена местами циклов одинаковой длины в п. 2 считалась новым случаем. Следовательно, нужно еще произвести деление на В итоге получаем:

Для проверки выражения (59.126) можно убедиться в том, что действительно

Для этой цели функцию

следует рассмотреть как степенной ряд по х. Тогда нужно показать, что множитель при становится равным

1, и что, следовательно,

так как не входит в функцию

Действительно,

Далее, используя уравнения (59.12а) и (59.126), из (59.12) получаем:

Проверка: при экстремальном разрежении все остальные Тогда Согласно

(59.3а) будет иметь место равенство

Следовательно, действительно идентично выражению (55.8) по теории Майера, если в него подставить

Но это совпадает с (59.1).

1
Оглавление
email@scask.ru