27. БАРОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА

Эта формула описывает снижение давления воздуха в зависимости от высоты х над земной поверхностью. Различные методы ее вывода наглядно иллюстрируют соответствующие физические отправные положения.

Рассмотрим воздушный столб, заключенный в вертикальном цилиндре. Пусть в нем существует термическое равновесие, т. е. повсюду одна и та же температура. Найдем теперь функцию Для ее определения используем последовательно три различных метода: механики, термодинамики и кинетической теории газов.

Рис. 50. К выводу барометрической формулы.

Вывод по законам механики. Вырежем мысленно из столба газа поперечным сечением слой высотой (рис. 50). Пусть плотность газа. На этот слой действует сила земного притяжения Почему же он не падает на Землю?

Потому что помимо силы тяжести на него действуют силы со стороны ниже и вышележащих слоев газа. На его нижнюю граничную поверхность (на высоте х) действует сила направленная вверх; на верхнюю поверхность (на высоте -сила направленная вниз. Разность этих давлений и дает еилу, поддерживающую слой. Следовательно,

Если теперь перейти к пределу то в левой части получится таким образом,

Если известно в виде функции то это уравнение редставляет собой дифференциальное уравнение для: К тому же самому уравнению можно прийти, если принять во внимание, что давление в любом сечении равновесу всего расположенного над этим сечением столба Если обозначить через х какое-либо сечение, положенное выше х, то должно выполняться условие

Дифференцируя это уравнение по х, снова приходим выражению (27.1). В частности, для идеального газа молекулярным весом связаны соотношением

Отсюда согласно (27.1)

следовательно,

здесь давление у поверхности Земли (при

Сначала об одном практическом применении: на какой высоте давление уменьшится до от давления над земной поверхностью? Для этой высоты должно выполняться условие

следовательно

Подставляя численные значения ,

для воздуха) получим:

т. е. примерно высоту горы Эверест.

Если мы разделим числитель и знаменатель показателя степени в уравнении (27.2) на постоянную Лошмидта, то в числителе будет стоять масса отдельной молекулы, в знаменателе — постоянная Больцмана

В показателе степени числитель представляет собой теперь потенциальную энергию в поле тяжести Земли, знаменатель — термическую энергию Этот способ записи можно истолковать следующим образом. Благодаря потенциальной энергии молекулы «хотели бы» опуститься на землю. Однако термическая энергия движения препятствует этому. Две противоборствующие тенденции приводят к компромиссу, выражаемому формулой (27.3). Подобное толкование еще будет уточняться.

Формула высоты и кинетическая теория газов. В разработанной выше теории газов мы предполагали, что плотность газа в пределах всего объема V одна и та же. Введем теперь усложняющее условие, что плотность зависит дополнительно от положения. Благодаря этому возникает общая постановка вопроса. Выделим в пространственной системе координат вокруг точки элементарный объем а в пространстве скоростей вокруг точки элемент и определим число

таких молекул, которые находятся в объеме и одновременно имеют скорости, лежащие в интервале Вопрос о стационарном распределении сводится к тому, чтобы найти такую функцию шести переменных которая несмотря на движение отдельных молекул и действующие на них силы не изменяется. К счастью, в случае распределения по высоте с самого начала можно принять, что зависимость от отсутствует. Кроме того, пока будем игнорировать и зависимость от так как эти компоненты скорости не изменяются

вследствие влияния силы тяжести. Тогда рассмотрение ограничится функцией смысл которой еще раз проиллюстрируем в плоскости Каждая точка в этой плоскости представляет молекулу, расположенную на определенной высоте и имеющую скорость Тогда представляет собой просто число точек в элементарном объеме

Рис. 51. Картина потока в плоскости для случая постоянного поля тяжести в направлении х. В стационарном состоянии плотность точек вдоль штриховой параболы неизменна.

Даже при отсутствии соударений между молекулами такое распределение в общем случае не является стационарным, ибо в поле тяжести имеет место соотношение Кроме того,

Молекула, которая ко времени была в точке нашей диаграммы, ко времени где небольшая величина, будет находиться в точке Это движение на рисунке указано стрелкой. Далее следует, что в элементе ко времени будут находиться те молекулы, которые ко времени лежали в элементе с координатами где функция распределения имела значение Кроме того, площадь заполненного молекулами элемента при подобном «потоке» не изменяется. Следовательно, если плотность точек в окрестности должна оставаться неизменной, то должно выполняться условие

Таким образом, в пределе должно быть

При решении этого уравнения учтем, что если для функции двух переменных выполняется условие то может быть функцией лишь одной переменной т. е. Этот результат применим к уравнению (27.6), если заменить переменные на

Тогда из уравнения (27.6) следует, что

должно быть функцией только одной переменной Однако зависимость функции распределения от нам уже известна — она определяется формулой Максвелла. Тем самым получаем:

Наоборот, если принять, что известна барометрическая формула, то из наших рассуждений следует распределение скоростей Максвелла.

Возвращаясь теперь к более общей функции (27.4), имеем функцию распределения в поле тяжести:

Этот результат можно сформулировать очень просто. В числителе показателя степени стоит сумма потенциальной и кинетической энергии, соответствующая элементу Естественно, из уравнения (27.7) можно вновь получить барометрическую формулу. При этом остается только выяснить распределение плотностей в пространстве. Число молекул в слое может быть получено из уравнения (27.7) по схеме

с помощью суммирования (или интегрирования) по всем скоростям. Мы можем избежать действительного выполнения этого интегрирования, так как величину мы можем вынести за знак интеграла. Таким образом, вводя По, не зависящую от получим плотность частиц на высоте

но это и есть наш старый результат.

Барометрическая формула и термодинамик а. Рассмотрим наш заполненный газом столб с позиций термодинамики. Пусть одинаковая температура в столбе поддерживается с помощью соответствующего термостата. Тогда в пределах столба установится некоторое распределение давления, например, в нижней части давление а на высоте давление Если теперь в нижнюю часть подвести газ, то за счет энергии термостата он будет перенесен в верхнюю часть. Это наводит на мысль использовать этот факт для получения механической работы, отбирая газ на высоте (например, грамм) в соответствующий сосуд, подвешенный к одному концу троса. Трос перекинут через ролик и несет на другом конце такой же сосуд с грузом грамм. Теперь обратимо и без усилий можно медленно опустить сосуд с газом и одновременно поднять на высоту см. Таким образом, совершенную работу можно действительно получить в виде поднятого груза. Далее снова вводим газ в цилиндр, помещаем в находящийся внизу сосуд новый груз, в то время как груз, вынутый из старого сосуда, передвигаем в сторону на расположенную на высоте полку. Тем самым был бы изготовлен перпетуум мобиле второго рода, так как в описанном цикле не происходит ничего другого, кроме получения работы и отнятия от теплового источника равного количества тепла. Но в действительности при обратимом изотермическом круговом процессе не может совершаться никакой работы. Для разрешения этого противоречия разберем детальнее процессы отбора газа (при ) и ввода газа (при ). Для отбора моля газа при давлении присоединим к вертикальному столбу газа сбоку закрытый поршнем цилиндр, а затем откроем в нем вентиль так, что давление будет

теперь действовать на поршень. Затем медленно выдвинем поршень до тех пор, пока не отберем один моль газа объемом получив работу Опустим далее описанным выше способом закрытый вспомогательный цилиндр вниз, получив работу Следовательно, до сих пор мы получали работу Наконец, встает важнейшая задача вновь ввести газ в вертикальный столб в месте, где давление в нем равно Для этой цели мы должны сначала изотермически сжать находящийся в нашем вспомогательном цилиндре газ до давления Для этого нужно затратить работу

Только после того, как это произойдет, снова можно ввести моль газа в нижнюю часть вертикального столба с давлением Этот процесс представляет собой простое повторение вышеописанного отбора газа и требуют работы Совершенная в целом работа теперь равна:

Если приравнять ее нулю и учесть к тому же, что то получим:

в точности старую барометрическую формулу. Требуемое по второму закону равенство работы подъема и работы сжатия на деле идентично старому результату.