50. СИСТЕМА НАХОДИТСЯ В ТЕРМОСТАТЕ

Этот случай в общих чертах уже был рассмотрен в § 46. Там мы использовали гиперсистему, состоящую из большого числа макроскопических систем, и различными методами нашли, что сначала должна определяться статистическая сумма

Используя преобразование

можно получить свободную энергию, из которой потом могут быть определены все прочие термодинамические функции. В данном случае системой является идеальный газ, состоящий из очень большого числа частиц. Его энергетические термы заданы следующим образом:

Любое состояние системы задается совокупностью чисел заполнений при условии

Следовательно,

Сумма распространяется на все комбинации чисел совместимые с условием По значению определяются также средние значения

Расчет суммы (50.1) затруднен наличием дополнительных условий. Снова используем метод Дарвина и Фаулера, который здесь, однако, имеет другой физический смысл, чем в § 46.

Выразим с помощью интеграла в комплексной плоскости. Для этого рассмотрим функцию

Учитывая, что получаем:

Суммирование по в уравнении (50.3) означает теперь, что его следует производить по всем независимо друг от друга. Следовательно, будет иметь место

Теперь можно выполнить суммирование, а именно: для статистики Бозе от до для статистики Ферми для Отсюда получим:

статистика Бозе:

статистика Ферми:

Далее на основании теоремы о вычетах теории функций комплексного переменного из выражения (50.3) следует:

причем путь интегрирования должен охватывать нулевую точку комплексной плоскости х, однако не должен заключать ни одной сингулярной точки функции (рис. 68). Запишем функцию в виде

Рис. 68. К расчету интеграла (50.5а).

Приближенная оценка этого интеграла может быть выполнена по методу седловых точек (см. также § 46, в). На действительной положительной оси х подынтегральное выражение имеет минимум в точке Если заменить на так как то определяется из условия

В качестве пути интегрирования выберем окружность с центром в нулевой точке и радиусом принимая, следовательно, При подынтегральное выражение имеет на этой окружности такой острый максимум, что для больших значений в выражении можно ограничиться максимальным значением подынтегрального выражения (более точное обоснование можно найти в литературных источниках). Если

снова заменим на будем иметь:

Из данного уравнения следует уже термодинамический смысл Имеем:

[Следует учесть, что производная по х вследствие (50.6) исчезает]. Далее, поскольку а выражение определяет химический потенциал (см. § 19), или на основании соотношения

Если теперь ввести в выражение (50.7) значение из соотношения (50.4) и использовать (50.8), то получим: для статистики Бозе:

для статистики Ферми

Для нахождения а исходим из уравнения (50.6), определяющего Вследствие уравнения (50.7) также можно записать используя выражение

Поскольку заданы, то а может быть в принципе определено из данного уравнения.

Рассчитаем еще средние значения из выражения (50.2). В согласии с уравнением (49.9) получим:

Следовательно, выражение (50.10) означает просто условие

Из выражения для свободной энергии определяем энергию нашей системы:

Правую часть этого уравнения можно записать также в виде следовательно, речь идет о средней энергии системы при заданных значениях Это можно заметить также, если в выражении (50.12) ввести для значение (50.1)

Расчет флуктуаций здесь не производим. Почти во всех случаях получаются те же значения, что и для ситуации, рассматриваемой в следующем параграфе.