70. ФЕРРОМАГНЕТИЗМ

а) Общие положения

Явление ферромагнетизма можно обсуждать по схеме предыдущих параграфов, если в его основу положить некоторые приведенные ниже положения, сильно упрощающие действительную модель.

1. Ферромагнетик в каждом узле решетки содержит один электронный спин с магнитным моментом

2. При наличии магнитного поля направленного, например, вправо, отдельный спин направлен либо направо (по направлению либо налево (противоположно

3. Энергия взаимодействия имеется лишь между двумя соседними спинами. Величина представляет собой ту работу, которую нужно затратить, чтобы перевести пару спинов из энергетически предпочтительной параллельной ориентации в антипараллельную.

Описанная таким образом модель в литературе часто называется моделью Изинга. Ее несовершенство прежде всего состоит в наличии первой предпосылки, так как ни у одного реального ферромагнетика число действующих электронных спинов не совпадает с числом атомов. Более серьезны возражения против введения второй предпосылки, которую обычно обосновывают разновидностью псевдоквантовой теории.

Для первого ориентировочного обсуждения введем еще одно допущение.

4. Спины распределены по решетке статистически.

Фактически, как следствие третьего условия, в окружении спина всегда находится большее количество спинов чем соответствующее статистическому среднему. Используем это обстоятельство для расчета, производимого в § 71. Четвертое допущение имеет такой же характер, как и допущение, которое мы вводили выше при разделении фаз. С его помощью дальнейшая обработка принимает крайне простую форму.

б) Статистическая сумма по модели Изинга

Припишем каждому атому число которое может быть равным или —1 в зависимости от того, направлен ли его спин направо или налево Тогда состояние системы описывается совокупностью чисел Назовем далее числом спинов числом спинов В таком случае, очевидно, следовательно, среднее значение от равно

Отсюда следует также

Если намагниченность, замеренная в направлении насыщение, при котором все спины расположены в одном направлении, то представляет собой «относительную намагниченность:

Согласно третьей предпосылке энергия двух соседних спинов равна Она равна при параллельной ориентации при антипараллельной ориентации

Энергия всей состоящей из атомов системы при наличии направленного по магнитного поля Н будет тогда равна:

Здесь означает, что суммирование следует производить по всем ближайшим соседям атома означает «кольцо состоящее из тех атомов, которые окружают атом и являются его ближайшими соседями.

Множитель 1/4 (а не обусловлен тем, что при суммировании каждое соединение встречается дважды. Из уравнения (70.2) для суммы состояний (при следует:

причем суммирование следует производить по всем независимо друг от друга. Следовательно, функция включает в себя слагаемых. В § 72 выполним это суммирование для линейной цепи. Для случая плоской решетки оно произведено Онзагером. Для пространственной решетки это сделать пока невозможно.

В виде первого приближения введем теперь допущение 4 о чисто статистическом распределении спинов по решетке. Это означает, что входящая в уравнение (70.2) сумма в среднем не зависит от т. е. не зависит от того, находится ли в центре кольца спин или спин Тогда среднее значение в кольце просто равно тем самым

(z - число ближайших соседей). Так как далее , то

Энергия оказывается функцией одних только Определенное значение можно реализовать различными способами; следовательно, в качестве статистической суммы мы имеем:

Наиболее вероятным значением является то, которое дает наибольшее слагаемое, т. е. то, которое приводит выражение

к максимуму. Непосредственно находим (при

Согласно уравнению Кроме того, Отсюда получаем выражение

для как функции

в) Ограничение рассуждений только одним атомом

В формуле (70.3а) мы определили функцию для всей системы. Результат (70.4) наводит на следующие размышления. Производная представляет собой приращение энергии при увеличении на 1 и одновременно снижении на 1. Следовательно, если или означают энергию одного спина и соответственно то

В связи с этим уравнение (70.4) гласит:

или

Независимо от предыдущего расчета этот результат можно было бы получить так:

Рассмотрим спин (центральный атом) под воздействием его соседей и поля Если спин имеет направление то

При нашем статистическом условии будет, следовательно, иметь место

и соответственно

Для вероятностей или найти спин в положении и соответственно таким образом, выполняется

С другой стороны, для центрального атома должна быть справедливой та же статистика, что и для каждого атома кольца, и, таким образом, должно иметь место:

Тем самым, не вдаваясь в статистическое рассмотрение всего тела, мы воспроизвели старый результат (70.4а) при рассмотрении только одного атома.

Для обсуждения заданной уравнением (70.4а) функции запишем это уравнение в виде

Приравнивая аргумент величине а, получаем тем самым известное параметрическое выражение

Вводя температуру Кюри определяемую соотношением

из последнего уравнения получим:

Таким образом, получаем построение, представлен ное на рис. 107 в плоскости а: во-первых, лежит на кривой уравнение которой во-вторых, на прямой которая проходит через точку и наклонена к оси а под углом у, определяемым из выражения Поэтому равно расстоянию между точкой пересечения В и осью а.

При таком изображении следует учесть, что отношение практически всегда намного меньше единицы.

Рис. 107. Графическое определение как функции при параметрическом представлении (70.7). Для расчета см. рис. 102.

Если, в частности, для подставить магнетон Бора, то отношение было бы равно 1 при эрстед и при Но для железа и никеля имеет порядок тем самым рассматриваемое отношение даже при эрстед было бы равно 1/100!

Из рис. 107 можно определить и зависимость от Изменению соответствует поворот прямой II вокруг точки изменению параллельное перемещение прямой II. При низких температурах почти независимо от Н и равно существующей и при спонтанной намагниченности Только когда становится соизмеримо с и особенно при начинает существенно зависеть от В последнем случае как так и а становятся малыми по сравнению с 1.

В связи с этим первое из уравнений (70.7) превращается в а уравнение (70.9) принимает вид:

или

При следовательно, имеем намагничивание, пропорциональное Отнесенная к одному спину

электрона восприимчивость, определяемая выражением при оказывается равной

Это и есть известный закон Кюри-Вайса.

Обычно этот результат иллюстрируют схемой, приведенной на рис. 108; здесь на оси при наносят относительное намагничивание а при -обратную восприимчивость

Рис. 108. В зависимости от температуры при нанесена спонтанная намагниченность а при обратная восприимчивость

г) Связь с теорией Вайса

Только что полученные формулы были в основных чертах уже выведены Пьером Вайсом на основании следующей идеи.

Формула Ланжевена

при описании парамагнетизма всегда дает очень малые значения Чтобы описать очень большую по сравнению с этим намагниченность ферромагнитных веществ, Вайс сделал допущение, что действие внешнего поля Н поддерживается уже имеющейся намагниченностью и что, следовательно, поле Н в формуле Ланжевена следует заменить на

(здесь магнитный момент единицы объема). Число называют коэффициентом Вайса. Попытки произвести теоретическое обоснование этого условия тогда не

предпринимались. При таком допущении формула Лапжевена переходит в выражение

Но эта формула идентична нашей формуле (70.6), если подставить

Величина на основании определения представляет собой работу, которую необходимо затратить, чтобы при полном насыщении повернуть отдельный спин в противоположном направлении. Следовательно, имеет значение «внутреннего» поля против которого следует вращать магнитный момент С температурой Кюри это внутреннее поле связано зависимостью Отрезок на отрицательном участке оси ординат на рис. 107 равен, таким образом, т. е. представляет собой отношение внешнего поля Н и внутреннего поля Вайса при насыщении.