82. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ФОККЕРА — ПЛАНКА

а) Без внешнего силового поля

Еще в § 79 статистическим методом была рассчитана вероятность того, что скорость частицы ко времени лежит в интервале если к моменту времени она имела скорость Для решения подобной задачи изберем теперь совсем другой путь, выводя дифференциальное уравнение для из основного уравнения Пусть

представляет вероятность того, что по истечении времени х скорость частицы с начальной скоростью лежит между Тогда для распределения скоростей к моменту времени справедливо выражение

Пусть теперь время настолько мало, что функция значительно отличается от нуля только для таких значение которых мало по сравнению с В таком случае можно разложить:

Если ограничиться квадратичными членами по то в уравнение (82.3) войдут лишь следующие интегралы:

Эти средние значения можно заимствовать из прежних рассмотрений. Согласно обозначениям уравнения (78.2а) представляет собой изменение скорости за время т. е. Тем самым при заданном получим:

Далее, ограничиваясь членами первого порядка по имеем

следовательно,

Таким образом, уравнение (82.3) принимает вид:

и в пределах переходит в уравнение Фоккера—Планка:

Если записать уравнение (82.4) в виде

то можно заметить, что если Распределение Максвелла, естественно, стационарно.

Полное интегрирование уравнения (82.4) удается путем изящной замены переменных. Сначала вместо в качестве переменной вводим величину В этом случае имеем:

следовательно,

и

Таким образом, из уравнения (82.4) получаем:

(где

Теперь подставим откуда

Тем самым имеем:

Наконец, путем замены вводим новую шкалу времени, т. е. полагаем:

Таким образом, уравнение (82.4) приведено к привычной форме диффузионного уравнения

Стандартное решение этого диффузионного уравнения имеет вид:

При это решение переходит в

Если с помощью выражений

снова перейти к первоначальным переменным, то получим:

Таким образом, заново получен закон (79.7) приближения к распределению Максвелла, на этот раз исходя из дифференциального уравнения (82.4).

б) При наличии силового поля

Пусть теперь на частицу воздействует дополнительно внешняя сила с потенциалом следовательно, Аналогично предыдущим параграфам отыщем вероятность нахождения частицы в интервале Если в данном случае выражение

представляет собой вероятность изменения х или в пределах времени на и соответственно то применима аналогия с уравнением (82.2):

Так же как в (82.3) мы должны разложить подынтегральную функцию по до квадратичных членов.

Получающиеся при этом средние значения определим из уравнения

т. е. после интегрирования по от до [см. (78.2а)]:

К тому же при меньшем времени торможения имеем:

Используя замены из уравнений (82.8) и (82.9) находим теперь средние значения (усреднение производится по многим частицам с равными ограничиваясь линейными членами по :

Остальные средние значения, так же как и т. п., при линейном приближении не вносят никакого вклада в х.

Следовательно, при разложении в ряд подынтегрального выражения (82.7) и выполнении интегрирования остается

Вводя указанные выше средние значения, произведя деление на и перейдя к получим уравнение Фоккера — Планка в виде

Для проверки этого уравнения прежде всего установим, что известное распределение

действительно стационарно, т. е. обращает в нуль правую часть уравнения (82.10).

Если из уравнения (82.10) нужно получить данные об изменении во времени плотности то вначале напрашивается определить с помощью выражения

Если выполнить это интегрирование в уравнении (82.10), то производные по не дадут никакого вклада, так как при очень быстро стремится к нулю. Получим

т. е. хотя и правильный, но, к сожалению, крайне тривиальный результат. Он выражает лишь закон сохранения массы.

На основании прежних результатов можно ожидать выражения для плотиости в виде

где подвижность и коэффициент диффузии; следовательно, надеемся получить дифференциальное уравнение

Как установил Крамере, уравнение (82.12) действительно вытекает как приближенное уравнение из выражения (82.10):

Смысл данного преобразования выясняется при рассмотрении рис. 116: для того чтобы получить плотность в точке интегрировали функцию вдоль пунктирной линии (параллельно оси согласно уравнению (82.11). Рассмотрим теперь наклонную прямую

проходящую через точку и имеющую уравнение Вдоль этой прямой При движении вдоль этой прямой любая функция изменяется на

или

Следовательно,

Таким образом, если проинтегрировать уравнение (82.13) не вдоль пуиктириой вертикали, а вдоль наклонной прямой то первое слагаемое в правой части уравнения станет равным нулю. Выясним, при каких обстоятельствах подобное интегрирование по наклонной прямой может рассматриваться в качестве замены интегрирования при постоянном х.

Рис. 116. Замена интегрирования по при постоянном интегрированием вдоль наклонной прямой

Функция практически становится равной нулю, если превышает максимальное значение На прямой в точке координата х отстоит от на Но представляет собой длину пути торможения частицы, движущейся со скоростью и подвергающейся только воздействию трения Если теперь настолько слабо зависят от что на расстояниях порядка пути торможения самой быстрой частицы они еще могут рассматриваться почти постоянными, то в самом деле можно заменить интегрирование остальных членов в уравнении (82.13) вдоль интегрированием при постоянном И в этом случае было бы точно получено требуемое уравнение (82.12).

При термическом равновесии имеет порядок Следовательно, справедливости уравнения

(82.12) можно ожидать лишь в том случае, когда выполнены следующие условия:

Обсуждение процессов, для которых данные условия не выполняются, можно найти в работе Крамерса и Чандрасекара (см. сноску на стр. 429).