67. СТАТИСТИЧЕСКИЙ МЕТОД

Наша задача состоит теперь в том, чтобы ввести зависящую от расположения частиц часть энергии по уравнениям (66. 1а) или (66.1 б) в статистическую сумму. При прежнем рассмотрении твердого тела его энергия складывалась только из кинетической энергии и той части потенциальной энергии, которая связана с небольшими взаимными смещениями атомов и которую можно обозначить как «упругую» энергию Еупр. Добавляя энергию расположения для энергии в целом имеем:

Статистический интеграл можно теперь записать следующим образом:

причем интеграл следует теперь понимать так, что координаты положения частиц подвержены лишь небольшим смещениям из равновесного положения при заданном расположении этих частиц. Этот интеграл нужно умножить на а затем произвести суммирование по всем расположениям. Поскольку интеграл не зависит от расположения атомов, то его можно вынести за знак суммы так, что статистический интеграл, кроме величины

будет содержать лишь множитель, не зависящий от расположения. В отношении всех вопросов, связанных с расположением, достаточно, следовательно, вместо полного статистического интеграла рассматривать лишь величину Это и будем делать в последующем.

Подобный метод оправдан в области классической физики до тех пор, пока находящаяся под знаком интеграла величина действительно включает в себя лишь потенциальную энергию упругих колебаний. Однако вообще возможно, что включает и статическую, зависящую от расположения часть энергии. Если, например, радиусы обозначенных через атомов существенно отличаются друг от друга, то могут возникать заметные упругие напряжения при допущении, что островок, в котором преобладают атомы А, вдается в область с преобладанием атомов В. Тогда энергию статических напряжений нужно было бы добавлять к только что рассмотренной энергии Точно так же спектр и тем самым соответствующая часть статистического интеграла могут зависеть от расположения.

Если в выражении для объединить все расположения с равными значениями то

Множитель представляет собой число различных способов, которыми можно распределить атомов вида атомов вида В на узлах решетки так, чтобы имелось связей типа В конце нужно просуммировать по всем возможным числам Расчет числа представляет собой центральную проблему для всех обсуждаемых в данном разделе феноменов, но она до сих пор не решена из-за непреодолимых математических затруднений. Только в отдельных, практически не реализуемых случаях удалось получить строгое решение (линейные цепи и плоская решетка). К этому вопросу мы еще вернемся позднее.

Поэтому в дальнейшем в общих чертах рассмотрим некоторые приближенные методы. Наиболее грубое и простое приближение произведено Вайсом (в случае ферромагнетизма) и Брэгг-Уильямсом (в случае сверхструктуры). Оно уже дает довольно приемлемую качественную картину. Затем перейдем к усовершенствованному предложению Бете и в заключение вкратце обсудим основы более строгого подхода.