83. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

В предыдущих параграфах мы охарактеризовали нерегулярное ускорение через среднюю квадратичную скорость и Корреляционную функцию

Во многих случаях, в особенности если данное ускорение влияет на колебательную систему, целесообразно получить сведения о спектральном распределении. Для этой цели требуются некоторые математические выкладки.

Под статистической функцией понимаем функции, подобные скорости при броуновском движении частицы или силе воздействия окружающих молекул на данную частицу. В частности, предполагаем, что среднее значение за большой интервал времени равно нулю, или в более строгой формулировке

и далее, что хотя и изменяется крайне хаотично, но за очень большие промежутки времени характер функции остается в сущности без изменения, так что при не слишком малых значениях среднее квадратичное значение — не зависит от

Для дальнейшего расчета предположим также, что отличается от нуля лишь в пределах конечного,

даже если и очень большого времени следовательно, при и (в окончательных формулах перейдем к пределу Представим в виде интеграла Фурье:

откуда

Деление на введенное выше время дает среднее во времени

Так как симметрично по то можно записать

Уравнение (83.3) определяет спектральное разложение величины

В уравнении (81.2) было охарактеризовано статистическое поведение функции с помощью корреляции

где усреднение по следует проводить при постоянном Найдем связь между и спектральным распределением заданным уравнением (83.3). Она следует непосредственно из (83.1):

В связи с тем что после деления на (и в пределе имеем;

(Как и следует ожидать, для получаем

Наоборот, из (83.4) получим:

Корреляция и спектральное распределение согласно уравнениям (83.4) и (83.5) связаны между собой при помощи преобразования Фурье!

Такую трактовку используем прежде всего для нового рассмотрения уравнения

со статистической функцией Если для выбрать представление в виде интеграла Фурье (83.1), то для сразу последует:

Спектральное разложение согласно схеме (83.4):

следовательно,

Мы сделаем еще один шаг вперед, если используем связь (83.4) между корреляцией и спектральным разложением. Для согласно (81.5) будет справедливо

Отсюда в соответствии с (83.5) получим:

Следовательно, при для имеем спектральное разложение

Плодотворность такого описания будет в дальнейшем проявляться неоднократно. Вначале смущает то, что по уравнению вообще не зависит от Ибо из этого следовало бы, что стало бы бесконечно большим. Отсюда можно сделать вывод, что исходное уравнение (83.6) имеет лишь ограниченную применимость. От закона — для силы трения с постоянным нужно отказаться, если частота возбуждающей силы неограниченно растет. Поэтому уравнение (83.9) справедливо лишь до некоторой максимальной частоты, установление которой возможно только путем более детального исследования атомарной модели, лежащей в основе уравнения (83.6). Формально это обстоятельство учитывается тем, что постоянная в уравнении (83.9) заменяется функцией С частными примерами такого рода встретимся позднее.

Упруго связанная частица. Рассмотрим влияние описанной подобным образом силы на упруго связанную частицу. Кроме трення — должна еще действовать нетермическая сила которая стремится возвратить частицу в положение равновесия Тогда в качестве уравнения движения имеем:

Это уравнение охватывает два важных предельных случая: при отсутствии «термической» силы в случае уравнение (83.10) описывает затухающее колебание с круговой частотой

а в случае апериодически затухающее движение с постоянными затухания

Вначале не будем рассматривать частные случаи и рассчитаем из уравнения (83.10) среднее значение удвоенной кинетической энергии, когда задано с помощью выражений (83.1) — (83.3).

Используя соотношение

непосредственно из уравнения (83 10) получим:

откуда для скорости справедливо:

В соответствии со схемой, которая привела выше от уравнения (83 1) к уравнению (83.3), имеем:

т. е.

При термическом равновесии должно выполняться независимо от численных значений и С другой стороны, термическое ускорение не имеет ничего общего с упругой связью. Оно не является функцией координаты в пространстве. Вводя в уравнение (83.11) ранее найденное значение получаем

К счастью, этот интеграл совершенно не зависит от Как можно строго показать из элементарного расчета,

(для любого значения

Следовательно, статистическое ускорение, описанное уравнением (83.9), и в случае упругой связи приводит К правильному значению для

При предшествующем статистическом описании с помощью корреляции в уравнении (81.4) найдено в качестве условия термического равновесия

В то же время зависимость (83.5) между имеет вид:

Таким образом, уравнение (83.13) содержится как частный случай в уравнении (83.9). Более того, постоянство А согласно (83.4) свидетельствует о том, что функция при должна иметь вид чрезвычайно острого пика. Используя -функцию Дирака, из уравнения (83.5) получим:

Такое поведение функции можно объяснить лишь в том случае, если влияние среды, в которой размещена частица, проявляется в виде отдельных резких ударов бесконечно малой продолжительности. Если учесть конечную длительность отдельного удара, мы с неизбежностью придем к корреляционной кривой которая по порядку величины простирается на длительность этих ударов. Отсюда обратным образом следует порядок величины той частоты, при превышении которой вопреки утверждению (83.9) должна стремиться к нулю. Ниже на примере слабо затухающего осциллятора будет более детально исследована зависимость от частоты.