Г. КАНОНИЧЕСКИЙ АНСАМБЛЬ

36. ДВЕ СИСТЕМЫ В СОПРИКОСНОВЕНИИ

Рассмотрим две расположенные друг возле друга системы, которые характеризуются следующими данными.

(см. скан)

Пока обе системы полностью разделены, функция Гамильтона всей совокупности равна Однако, как только между ними устанавливается контакт, т. е. возможность энергообмена, то следует дополнить энергией взаимодействия

которая учитывает взаимное влияние на движение обеих систем. Подобное расчленение соответствует расчленению энергии:

Хотя само существование имеет решающее значение для механизма обмена, энергия должна быть настолько мала, чтобы ею можно было пренебречь по сравнению

Рассмотрим далее две такие взаимодействующие системы, как части микроканонического ансамбля в

Г-пространстве с измерениями. Элемент объема расположенный внутри слоя будет тогда прямо пропорционален вероятности того, что координата и импульсы обеих систем находятся внутри данного интервала.

Если мы теперь будем интересоваться вероятностью, относящейся только к первой системе, то нам нужно проинтегрировать по координатам второй системы, допускаемым условиям задачи. При задании в распоряжении второй системы еще остается часть всего микроканонического распределения, определяемая выражением Таким образом, вероятность того, что первая система находится в интервале будет равна:

или

где означает определенную в § 34, б производную фазового объема по энергии. Но при нашей постановке вопроса различаются лишь постоянным множителем (числа частиц не изменяются). Поэтому справедливо также

Для вероятности найти в интервале от до с помощью интегрирования по слою получаем:

Постоянный множитель в выражениях (36.1) и (36.2) каждый раз определяется из условия, что интеграл по всем вероятностям должен быть равен единице.

Если под обеими системами понимать макроскопические тела, то можно предположить, что при равновесии общая энергия вполне определенным образом распределяется между обеими телами и именно так, что их температуры будут одинаковы. Тогда наша вероятность (36.2) должна была бы иметь настолько острый максимум для определенного значения что другие ее значения практически бы отсутствовали. Это соответствует действительности.

Типичным случаем, который наглядно демонстрирует остроту максимума функции является, например,

что имеет место для идеальных газов (§ 35, в). Нужно сразу же пояснить, что и имеют порядок величины, равный порядку величины постоянной Лошмидта. Тогда

с максимумом при

Аналогично

Если подставить то

При разложении в ряд по степени с точностью до независимой от величины С следует:

следовательно,

Для расчета относительных флуктуаций перепишем этот результат в форме

Для квадрата относительного отклонения получаем:

Наиболее вероятное значение от согласно (36.2) определяется из

или путем решения уравнения

С другой стороны, мы ожидаем, что в случае контакта температура систем одинакова. Тогда уравнение (36.3) наводит на мысль подставить значения

что как будто бы противоречит нашему прежнему результату (35.7), (33.4)

Проанализируем это противоречие для случая идеального газа (35.4) при значениях

Подставип в оба выражения получим:

т. е. в первом и во втором случае.

Для очень больших оба выражения практически одинаковы. В обоих случаях

Следовательно, в пределе выражения (36.5) и (36.4) вообще тождественны. То же самое справедливо и для предельных значений и :

Также тождественны

Этот результат является следствием описанного в § 31 в высшей степени своеобразного свойства пространства с очень большим числом измерений.

Отсюда можно понять, как в случае чрезвычайно большого числа измерений (1023) весь фазовый объем оказывается равноценным объему бесконечно тонкого поверхностного слоя Если, с другой стороны, изолированное тело имеет лишь небольшое число степеней свободы (изолированный атом газа), то оно имеет постоянное значение энергии. Но не имеет никакого смысла приписывать ему температуру. Такое тело не имеет ничего общего с «нагретым телом». Нагретое тело характеризуется тем, что для него (36.4) и (36.5) являются равноценными определениями для так что вопрос, какое из двух определений верное, лишен смысла.