54. ГАЗ БОЗЕ

а) Общее обсуоюдение

Согласно (51.4) в данном случае имеем:

Целесообразно разложить логарифм в ряд

Если изменить последовательность суммирования и обозначить

то будем иметь:

Если для расчета снова заменить сумму интегралом, то с помощью выражения (47.7) получим:

где

Следовательно,

Первое слагаемое дает обсужденный выше случай разреженного газа. Из рассчитанного значения следует:

Если по данной формуле исследовать зависимость числа от а, то получим неожиданный и очень важный результат. Построим график функции в зависимости от (рис. 72). Для малых значений просто имеем

С увеличением быстро возрастает, пока не достигнет значения при Для ещеболылих значений при отрицательных а, сумма расходится, так что представляет предельное значение, которое, по-видимому, не может превышаться. В действительности такое странное изменение явилось следствием неточности проведенного выше расчета. Рассмотрим выражение (54.1) для При расчете мы принимали самое низкое значение энергии равным нулю. Следовательно, уравнение (54.1) имеет вид:

Рис. 72. Число частиц для газа Бозе в зависимости от Кривая обрывается при

Однако при переходе к интегралу путем замены первое слагаемое выпадает, в то время как именно в пределе оно стремится к и на сколько угодно превысит сумму всех остальных членов. Поэтому мы должны ввести его в выражение для охарактеризованное выше как предварительное, вследствие чего получим:

Отсюда

Благодаря новому выражению для математические затруднения, отмеченные на рис. 72, полностью отпадают. В пределе, при благодаря наличию нового слагаемого теперь непрерывно возрастает до (рис. 73). Правда, характер этого возрастания удивителен. в нашем случае по-прежнему очень большое число, скажем, . По сравнению с ним величина исчезающе мала до тех пор, пока а значительно превышает Следовательно, этот член становится существенным лишь в диапазоне около обусловливая в пределах этого диапазона увеличение от до что практически неразличимо от вертикального подъема в точке Следовательно, с совместимо любое значение Поэтому можно считать, что атомов находятся в состоянии с минимальной энергией Согласно (54.76) и (54.7в) эти атомы не вносят никакого вклада в общую энергию и давление Против соотношения (54.6) может возникнуть возражение. Если в разложении (54.1) явно учитывается первое слагаемое, то почему не учесть и второе и третье слагаемое? Покажем необоснованность этого возражения. Добавление второго слагаемого к выражению (54.7а) привело бы к соотношению

Только при очень малых значениях два первых слагаемых существенны по сравнению с третьим.

В этом случае они равны

Согласно (47.5а) первый возбужденный уровень 82 (при имеет значение откуда, подставляя получаем:

Но в интересующем нас диапазоне величина имеет порядок порядок Таким образом, эта оценка дает

в то время как Следовательно, в диапазоне, в котором оба сопоставляемых слагаемых существенны, второе слагаемое меньше первого на коэффициент Тем самым условие (54.6), т. е. учет только самого низкого уровня энергии, правомочно.

б) Конденсация идеального газа Бозе

Физический смысл своеобразной кривой на рис. 73 становится более ясным, если вернуться к схеме рис. 74, использованной при выводе функции

Рис. 73. Продолжение кривой рис. 72 путем учета уровня

Рис. 74. Конденсация идеального газа Бозе в поле тяжести.

Большой резервуар II (запасной сосуд частиц) связан с не большим резервуаром который и явится предметом рассмотрения. Дополним эту установку силовым полем так, чтобы атомы в резервуаре II имели потенциальную энергию относительно атомов резервуара Разницу высот в пределах резервуаров I или II будем считать несущественной. В качестве примера могло бы служить

гравитационное поле Земли При таких условиях согласно (54.7а) справедливо:

Если достаточно велико, то вещество в резервуаре II при ведет себя как идеальный газ:

Если в сосуд II вдвинуть поршень, то можно увеличить, доведя при этом значение а до нуля, причем в пределах резервуара II ничего необычного не произойдет. Если значение почти достигнуто, то в резервуаре находится ровно атомов. Если продолжать вдвигать поршень в резервуар II и далее, то получить значение а, точно равное нулю, невозможно. Более того, как в сосуде так и в сосуде давление остается постоянным. Атомы будут постепенно переходить из II в I, где они будут заполнять уровень нулевой энергии. Описываемое поведение газа сходно с поведением конденсирующегося реального газа (например, водяного пара), см. § 59. Если в резервуаре II вместо газа Бозе изотермически сжимать водяной пар, то повышение давления будет наблюдаться только до того момента, когда в резервуаре будет достигнуто насыщение. С этих пор дополнительно введенный в сосуд водяной пар будет конденсироваться, причем давление в сосуде будет всегда равным давлению насыщенного пара. Таким образом, можно по праву утверждать, что атомов, имеющих нулевой уровень энергии, образуют новую конденсированную фазу, а соприкасающийся с ней насыщенный пар имеет плотность

Уравнения (54.7) получают особенно простой вид если ввести сокращенные обозначения:

Тогда

Если через обозначить «число капель с I атомами», то каждая из этих капель вносит в значения тот же вклад, который вносил бы атом по классической теории газа.

В пользу приведенного толкования числа можно привести два дополнительных аргумента, а именно, барометрическую формулу и флуктуации плотности. Распределение капель по высоте заложено уже в уравнениях (54.8): если два сосуда, соединенные трубкой, располагаются друг над другом так, что атом верхнего сосуда имеет потенциальную энергию высота) относительно нижнего сосуда, то «в верхней части» следует заменить на т. е. а следует увеличить на Но тем самым уравнение (54.9) для концентрации капель дает:

т. е. капли действительно ведут себя как единые образования массой Одновременно можно заметить, что конденсация происходит только «в самом низу» в сосуде с наименьшей потенциальной энергией.

Для флуктуации числа частиц, содержащихся в нашей системе (имеется в виду малая система обменивающаяся частицами с резервуаром будет справедливым

следовательно, используя уравнение (54.7а) получаем:

Поэтому согласно (54.9) имеем

Для независимых атомов вместо этого нужно было бы ожидать Покажем, что выражение (54.11) как раз и появляется вследствие образования капель. Для этой цели рассмотрим очень большой сосуд объемом V, содержащий капель с I атомами Выделим в пределах V небольшой объем Обозначая запишем вероятность того, что в объеме V обнаружится капель с атомами:

Для последующего важно лишь то, что вероятность имеет вид:

Отсюда следует статистическая независимость различных в форме

Далее имеем:

Поэтому вследствие статистической независимости получаем:

или

Для отдельных видов капель всегда справедливо Тогда мы имеем:

Таким образом, выше области насыщения имеем полное соответствие с уравнением (54.11). В области насыщения всегда справедливо так что слагаемым в выражении (54.11) всегда можем пренебречь. Тогда при сравнении с полученной выше статистической формулой можно было бы сказать: в объеме V в среднем имеем капель с атомами а также одну каплю с атомами

Данное высказывание несколько сомнительно, так как в большом каноническом ансамбле остается совершенно неопределенным. При рассмотрении реальных газов мы снова встретимся с этим положением, поскольку там конденсированная фаза также будет проявляться в виде гигантской капли.

Может показаться, что описанная выше, открытая Эйнштейном конденсация идеального газа Бозе не имеет практического значения, так как идеального газа не существует, а при интересующих нас плотностях реальных газов решающее значение имеет энергия взаимодействия атомов. До сих пор еще не удалось добиться удовлетворительного учета этой энергии. Пренебрежение взаимным отталкиванием атомов ведет, например, к тому, что согласно уравнению (54.7в) конденсированных атомов не вносят никакого вклада в общее давление, так что им нельзя приписывать и собственный объем.

Несмотря на это описанная конденсация интересна с двоякой точки зрения. Во-первых, как простая модель фазового превращения вообще. Как мы увидим в следующем параграфе, описанная вьцпе аналогия с конденсацией водяного пара получает более глубокий смысл при рассмотрении реальных газов по Мейеру. Помимо этого можно показать, что фазовое превращение со статистических позиций характеризуется своеобразной зависимостью большой статистической суммы от а, проявляющейся в том, что значение становится бесконечно большим, а число частиц совершенно неопре-. деленным.

Наряду с этой аналогией подобное вырождение приобретает особое значение при рассмотрении ансамбльных свойств жидкого гелия при температурах ниже -точки, соответствующей Большую часть наблюдений можно правильно истолковать, считая, что жидкий гелий при температурах ниже -точек состоит из двух фаз — сверхтекучей 5 и нормальной , и что фаза 5 возникает благодаря конденсации Эйнштейна в той форме, в которой она была описана для идеального газа Бозе. Правда, достаточно строгое обоснование дайной трактовки еще отсутствует. Более веской поддержкой служит то обстоятельство, что для изотопа для которого справедлива статистика Ферми, сверхтекучесть как будто бы не возникает. Далее очень заманчив численный результат Лондона. Согласно (54.6) для газа Бозе начало вырождения следует ожидать в том случае, когда при заданной плотности температура

переходит через значение, определяемое выражением

Если в этом случае для подставить найденную экспериментально плотность жидкого гелия, то получим что по порядку величины неожиданно хорошо совпадает с наблюдаемым значением, равным