Главная > Теория теплоты (Беккер P.)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ГЛАВА ВТОРАЯ. СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

23. ВВЕДЕНИЕ

Первоочередная задача статистической механики заключается в том, чтобы на основании существующих в настоящее время представлений об атомарном строении материи сделать понятными выявленные в термодинамике закономерности. Впервые подобная задача была успешно решена Максвеллом и Больцманом в развитой ими

кинетической теории газов. Она кратко изложена в разделе А. Содержащиеся в нем рассуждения и методы служили прообразом при анализе более общих проблем.

Всякий раз, пытаясь дать учению о теплоте теоретическое обоснование, независимо от специальных моделей мы сталкиваемся с очень примечательной ситуацией. В термодинамике физическое состояние материального тела определяется с помощью немногих численных данных, таких, например, как давление, энергия, плотность, скорость и т. д. С другой стороны, для описания микроскопической картины требуется невероятно большое количество данных, как, например, положение и скорость всех атомов в классической теории газов (или в квантовой теории функция Шредингера для соответствующей задачи тел). Только когда для времени имеются все эти данные (их общее число имеет по меньшей мере порядок 1023), атомарная теория может в принципе предсказать дальнейшее развитие системы. Однако фактически макроскопическая термодинамика представляет в наше распоряжение лишь немногие численные данные, поэтому, об атомарной ситуации мы почти ничего не знаем. С другой стороны, этих немногих численных данных достаточно для того, чтобы дать основу для количественного описания таких макроскопических процессов, как диффузия, теплопроводность, течение жидкости и т.д., на основании дифференциальных уравнений, которые в макроскопической физике рассматриваются как следствие строгих закономерностей. С точки зрения атомарных представлений все эти закономерности могут в лучшем случае рассматриваться лишь как вероятностные, так как конечно же невозможно, основываясь на подобном весьма скудном знании атомарной ситуации, делать точные предсказания. Поэтому во главе учения о теплоте стоит ненадежность всех физических выводов, вытекающая из нашего незнания действительной ситуации. В следующих параграфах мы должны подробнее рассмотреть это незнание, в частности, следует попытаться сформировать меру данного незнания количественно. Это приведет нас к выводам следующего рода: на основании макроскопических исходных данных мы лишь узнаем, что система представляет собой часть микроканонического или, при задании температуры, канонического ансамбля и что макроскопическое поведение соответствует значению усреднения по

этому ансамблю. При этом в качестве результатов, имеющих первостепенное значение, будет получен: параметр, который доминирует во всей термодинамике, а именно энтропия, которая оказывается количественной мерой только что упомянутого незнания. Это, без сомнения, один из самых значительных и глубоких выводов всей физики. Он, естественно, приобретает смысл только после точной формулировки, которая может быть получена лишь после проработки последующих разделов. Основной особенностью статистической механики является то, что число микроскопических степеней свободы, по существу определяемое числом атомов, содержащихся в системе, чрезвычайно велико. Хотя с ростом наши знания о микроскопической структуре становятся все меньшими, вышеотмеченные вероятностные предсказания становятся тем надежнее, чем больше в том смысле, что в пределе мы снова придем к точным результатам.

Эта особенность теории вероятностей настолько характерна, что мы поясним ее сразу же на простом примере. Пусть газ состоит из молекул, которые двигаются независимо друг от друга в объеме V (идеальный газ). Выделим в пределах V малый по сравнению с ним объем и найдем число молекул, содержащихся в объеме Если обозначить

то представляют собой вероятности того, находится ли выделенная молекула в пределах объемам или вне его. Таким образом, вероятность того, что из пронумерованных молекул молекулы с номерами от 1 до лежат в пределах и, а молекулы с номерами от до вне его, равна:

Для определения вероятности нахождения в объеме любых молекул последнее выражение следует умножить на величину

которая как раз и представляет собой число различных возможностей выбрать любые молекул из общего числа Следовательно,

Как и должно быть, поскольку для любых справедливо

Если мы на мгновение представим себе как независимые переменные, то применив оператор получим как раз Используя его для последнего равенства, получим:

Еще раз используя тот же оператор, имеем:

Только теперь подставим в результате получим для средних значений:

Среднее значение квадрата отклонения от среднего значения (квадратичное отклонение или дисперсия) равно:

Из вышеприведенных уравнений следует:

Разумеется, при т. е. при отклонение равно нулю. Если, с другой стороны, то имеет место равенство

Как следует ожидать, дисперсия возрастает с возрастанием среднего числа молекул, содержащихся в объеме Теперь осуществим решающий переход к макроскопическому измерению, при котором мы хотим определить плотность газа, заключенного в объеме При

этом мы интересуемся не абсолютным числом молекул, а относительной точностью, с которой устанавливается эта плотность при задании Но последняя определяется квадратичным отклонением числа молекул, т. е. величиной

Хотя абсолютное отклонение очень велико, относительное отклонение с ростом стремится к нулю. Этот результат в сходной форме будет нам встречаться многократно. Именно потому, что число при всех макроскопических измерениях чрезвычайно велико, мы можем практически говорить об определенной плотности и совершенно абстрагироваться от ее колебаний.

Для многих приложений полезно рассчитать фактическую величину (23 1)

для больших значений

С помощью формулы Стирлинга преобразуем:

следовательно,

Нас интересует отклонение от среднего значения Подставим поэтому В результате получим:

Будем считать весьма малой величиной по сравнению с Тогда в подкоренном выражении мы можем пренебречь величинами Наоборот, множители перед корнем мы должны разложить в ряд вплоть до членов порядка По схеме

получим, например,

Отсюда, ограничиваясь членами порядка получим:

Соответственно будет иметь место равенство

Вследствие Таким образом, окончательно получим:

Если то, следовательно, отсюда, используя соотношение имеем:

Как и должно

1
Оглавление
email@scask.ru