44. АНСАМБЛЬ ИЛИ СТАТИСТИЧЕСКАЯ СОВОКУПНОСТЬ

а) Определение ансамбля и его изменение во времени

В классической статистической механике мы видели, как точное описание макроскопического тела, например задание всех как функций от времени, заменяется средними значениями по соответствующим образом выбранному распределению плотностей в -пространстве.

Это означает, что вместо данной системы рассматривают большое количество тождественных систем и приравнивают рассчитанные по всей совокупности средние значения какой-либо величины средним значениям для данной системы.

Аналогичную ситуацию мы встречаем и в квантовой теории. В смысле квантовой теории точное описание состояло бы в задании совершенно определенной функции и ее изменения во времени согласно уравнению (43.1). Вместо этого мы рассматриваем большое число систем, каждая из которых по отдельности ведет себя в соответствии с уравнением (43.8), и выдвигаем требование, чтобы интересующая нас микроскопическая величина могла быть определена как среднее по всем этим системам. Совокупность подобных систем мы называем ансамблем. Для осуществления этой программы мы берем за основу при описании смеси определенную полностью нормированную ортогональную систему Отдельный индекс представляет здесь схематично чрезвычайно большое количество квантовых чисел, которые необ: ходимы для однозначного определения состояния. Нужно учесть, что уже для отдельного атома водорода при определении состояния электрона требуется четыре квантовых числа, например, числа соответствующие энергии, моменту количества движения компоненте от в направлении 2 и квантовому числу спина Следовательно, индекс в нашей макроскопической

системе представляет квантовых чисел, где величина порядка числа степеней свободы.

Опишем далее ансамбль следующим образом. Укажем, какие количества отдельных его элементов находятся в определенных квантовых состояниях. Пусть, например, находятся:

при условии Используя сокращенное обозначение

можно также сказать, что представляет собой вероятность найти данную систему в состоянии при соответствующем (идеальном) измерении.

Выдвинем гипотезу, что измеряемые для данной системы макроскопические величины равны среднему значению соответствующих величин для ансамбля (44.1). Мы сразу же заметим, что отдельные числа почти не имеют никакого значения, так как точность измерений не позволяет производить контроль отдельных

Мы можем, например, охарактеризовать неточность подобного измерения с помощью очень большого числа утверждая, что практически неразличимы. Тогда все ансамбли, для которых лишь средние значения

имеют одинаковую величину, в макроскопическом понимании равноценны. Поэтому для ансамбля (44.1) практическое значение могут иметь лишь подобные средние значения. В соответствии с этим мы имеем лраво заменить полученную вначале с помощью выражений (44.1) и (44.2) совершенно хаотичную последовательность чисел на последовательность при которой для

приблизительно выполняется условие После этого замечания рассмотрим следствие из схемы (44.1).

Исследуем вначале изменение во времени ансамбля, характеризуемого соотношением (44.1). На этот вопрос можно сразу же ответить на основании § 43. Используя оператор Гамильтона и единичный оператор характеризуем переход состояния за время в новое состояние

где элемент матрицы определяется с помощью выражения Для каждой из систем выражения (44.1) при повторном первоначальном измерении по прошествии времени существует, следовательно, вероятность того, что систему можно найти в состоянии Для всей совокупности, таким образом, существует вероятность

того, что ко времени эта совокупность будет находиться в состоянии Если мы из уравнения (44.5) вычтем умноженное на уравнение единичный оператор), то в результате получим:

Таким образом, мы имеем полное описание произошедшего за время от до изменения ансамбля (44.1) в случае, если за это время не вносились возмущения за счет измерений.

Вместо (44.6) можно также записать

Уравнение (44.7) можно интерпретировать так, что из имеющихся ко времени систем перешли в состояние или для системы, находящейся в состоянии существует вероятность перехода в состояние ; (за время t). В следующем разделе будет предпринята попытка реального

расчета Но независимо от этого из уравнения (44.7) непосредственно вытекает: если для всех состояний фьфг с элементами матрицы не равными нулю, соответствующие значения равны между собой, то ансамбль (44.1) стационарен, ибо тогда вследствие также равно То, что стремление к такому равномерному распределению с течением времени действительно существует, когда значения при возрастают с увеличением составляет суть -теоремы, которая подробно будет рассмотрена в § 45.

б) Методы неопределенных фаз

Опишем квантомеханическую систему с помощью коэффициентов разложения по выбранной ортогональной системе в виде

Согласно (43.4) коэффициент можно сразу же определить, зная коэффициенты :

Следовательно, вероятность найти систему в момент времени в состоянии равна:

Введем теперь статистическое предположение. Ко времени для амплитуд известны лишь абсолютные значения но не фазы. Следовательно, мы предполагаем, что где заданные действительные «положительные числа (для ) и, наоборот, совершенно неизвестны. В качестве ансамбля мы рассматриваем большое число систем, в которых все имеют одно и то же значение, а фазы хаотически колеблются так, что для отмеченного значком усреднения по такой смеси выполняется равенство

При таком усреднении, следовательно, все члены с произведениями обращаются в нуль и остается уже известный результат:

Этот метод очень удобен для расчетов. С его помощью можно обосновать вывод, что величины комплементарны в том смысле, что измерение одной из них полностью сводит на нет ранее полученное знание другой

в) Расчет вероятностей перехода ...

В качестве базисных векторов нашей системы выберем собственные векторы эрмитова оператора

Собственные значения в общем случае чрезвычайно сильно вырождены, так что для установления состояния наряду с требуется еще большое число других квантовых чисел Ниже символически будем обозначать их одним числом Латинские индексы будут относиться к энергии, греческие индексы к остальным квантовым числам. Следовательно,

Пусть оператор Гамильтона будет «почти» равен т. е. имеет место равенство

где оператор V означает весьма малое возмущение по отношению к Введение этого возмущения, безусловно, необходимо для того, чтобы в нашей статистической совокупности систем вообще что-либо могло произойти. Если бы были точными собственными функциями оператора Гамильтона, то за время переходило бы в

и, таким образом, были бы независимы от времени. Типичным примером подобного возмущающего оператора является случай идеального (т. е. весьма разреженного) газа, энергия которого практически состоит из

кинетической энергии отдельных молекул. В этом случае представляло бы собой кинетическую энергию, потенциальную энергию взаимодействия. Здесь величина V всегда пренебрежимо мала по сравнению с величиной Несмотря на это только наличие V приводит к тому, что происходят столкновения между молекулами и изменение распределения скоростей. Другим примером служит случай парамагнетизма разреженного газа. Каждый атом газа осуществляет прецессию вокруг магнитной силовой линии, не изменяя при этом ориентированную в направлении магнитного поля компоновку своего магнитного момента. Подобное изменение может произойти только в результате магнитного взаимодействия атомов, которое в данном случае выполняет роль

Будем довольствоваться подобным не вполне удовлетворительным обоснованием возмущения Теперь нужно для вычисления вероятности уравнению (44.6) произвести расчет V оператора

здесь идентично выражению

Для дальнейшихвыкладок решающее значение имеет невозможность перестановки операторов и

Нужно, например, производить расчет так:

Если мы удовлетворимся членами, линейными по V, то получим:

Отнесенные к базисным векторам элементы матрицы будут при этом равны:

Далее вследствие (44.8)

Следовательно, при записанном выше суммировании по остается лишь слагаемое с а также так что мы получаем:

Сумма в правой части имеет простое значение. Она равна:

При линейном приближении по V уравнение (44.9) приобретает вид:

Следовательно, при [только такие элементы входят в уравнение (44.6)] будет иметь место:

Таким образом, уравнение (44.6) дает для вероятности состояния

Относительно суммирования по s заметим: для строго выбранного времени содержащий резонансный фактор существенно отличается от нуля лишь в диапазоне

Допустим далее, что настолько велико, что выражение значительно меньше, чем любая погрешность макроскопического измерения энергий. Одновременно должно быть настолько малым, чтобы за это время изменилось бы лишь незначительно. Допустим также что совокупность как и элемент матрицы зависят от связанного с энергией индекса 5 настолько слабо, что для них в области, характеризуемой шириной можно заменить индекс 5 индексом Тогда в уравнении (44.10) только резонансный фактор еще будет иметь индекс

Если обозначим через число лежащих в интервале собственных значений (т. е. линейно-независимых собственных функций с собственными значениями в пределах от до можно произвести суммирование по

В этом случае мы снова можем заменить его значением при резонансе. Вводя переменную интегрирования получаем:

Тем самым уравнение (44.10) принимает вид:

Вводя сокращенное обозначение

имеем:

Таким образом, симметричная по и по величина означает вероятность того, что находящаяся в состоянии или система с энергией за время переходит в состояние или соответственно

При дальнейшем изложении термодинамики мы будем требовать, чтобы в уравнениях (44.1), (44.2) значения не были отрицательны, чтобы они были симметричны относительно индексов и в пределах точности определяли лишь переходы между состояниями с равными невозмущенными энергиями.