64. КОЛЕБАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ РЕШЕТКИ

При рассмотрении пространственной решетки ограничимся простейшей кубической решеткой с постоянной решетки а (рис. Положение атомов этой решетки в равновесном состоянии определяется выражением

где вектор, имеющий лишь целочисленные компоненты. Для обсуждения колебаний

представим, что ближайшие соседние атомы этой решетки (6 соседних атомов, расположенных на расстоянии а) связаны пружинами в то время как 12 следующих соседних атомов (находящихся на расстоянии соединены пружинами с жесткостью Смещение атома из состояния покоя обозначим вектором с тремя компонентами этого вектора по координатным осям или

Рис. 91. Элементарная ячейка. а — положение атомов в простейшей кубической решетке атомы решетки связаны пружинами с ближайшими соседями и пружинами со следующими по удалению соседями; в — к определению смещений

При таких обозначениях выражение для потенциальной энергии, представленное в виде квадратичного ряда, имеет вид:

а уравнения движения

Коэффициенты ряда потенциальной энергии имеют очень наглядный смысл, который лучше всего выявляется из уравнений движения. представляет собой силу, действующую на атом номер в направлении если атом номер сдвинут в направлении на отрезок , в то время как все другие атомы остаются в состоянии

покоя. На этом основании эти коэффициенты легко определить исходя из принятых пружинных соединений (рис. 92). Если рассматривать два атома типи сдвинуть атом номер в направлении на расстояние то сила, действующая на атом при небольшом смещении имеет направление связи обоих атомов.

Рис. 92. К расчету сил, действующих на атом в направлении если атом сдвинут на в направлении Если смещение имеет компоненту в направлении соединительной оси, возникает сила.

Величина этой силы равна проекции смещения на соединительную линию, умноженной на соответствующий коэффициент жесткости пружины который зависит только от значения т. е. от расстояния между атомами:

при

Это определение справедливо только при Коэффициенты определяют, используя силу, действующую на атом когда только этот атом выведен из состояния покоя, а остальная решетка неподвижна. Коэффициент непосредственно связан с коэффициентами, определяемыми из выражения (64.4). Ибо если все атомы получат одно и то же смещение независимо от то в уравнение движения не могут войти никакие силы. Следовательно, должно выполняться условие

или

Коэффициенты зависят только от Поэтому в уравнении (64.5а) безразлично, производится ли

суммирование по всем или по всем

Естественно, что не зависит от При пружинном соединении согласно уравнению (64.4)

Собственные частоты снова могут определяться по уравнению волны:

Амплитуда и вектор распространения для случая пространственной решетки являются векторами. Если ввести эти уравнения в уравнение движения, то получим линейную систему уравнений:

с симметричной трехмерной матрицей которая сама зависит от вектора распространения k. Для каждого вектора к получаем три частоты и три вектора которые определяют форму колебания. Так как значения к, которые в каждой из компонент отличаются в раз, согласно уравнению (64.6) дают совпадающее колебание, то ограничения, оправдавшие себя для значений к в линейной решетке, справедливы для всех трех компонент k:

В соответствии с этим векторы к ограничены кубиком с ребром построенным исходя из нулевой точки.

Для вычисления собственных колебаний поставим условие пространственной периодичности по трем координатным осям с периодом . Следовательно, разделим решетку на кубические ячейки и потребуем, чтобы во всех этих ячейках колебания повторялись периодически. Так как объем, приходящийся на один атом, равен то в объеме периодичности содержится атомов. Выделенные вследствие граничного условия периодичности значения к, как и для линейной решетки, имеют вид:

Каждая из компонент пробегает ровно значений. Поэтому общее число возможных значений к равно Каждому значению к соответствуют три собственные частоты. В целом получаем 3N собственных частот, что опять же совпадает с числом 3N независимых координат.

Детерминант системы уравнений (74.7а) должен быть равен нулю:

Это условие дает кубическое уравнение для трех собственных частот, соответствующих значению k. В общем случае решения этого уравнения должны находиться численным путем. Только когда вектор распространения определенным образом ориентирован в пространстве, уравнение (64.10) распадается на несколько легко разрешаемых уравнений. Для того чтобы показать это, нужно сначала определить компоненты матрицы С помощью уравнения (64.4) вследствие уравнений (64.56) и (64.5в) получаем:

Сумму в уравнении (64.11а) следует распространять на всех соседей, для которых пружинная связь отлична от нуля . Например, при

расчете из ближайших соседних атомов с пружииамп учитываются лишь два атома с так как другие соседние атомы имеют компоненту х, равную нулю. Из 12 следующих соседних атомов учитываются лишь восемь с компонентами , отличными от нуля. Суммирование производится очень легко и дает:

Другие диагональные члены матрицы получаем путем цикличной перестановки. Для не диагональных членов ближайшие соседние атомы не дают никакого вклада. Получим:

Другие компоненты снова получим цикличной перестановкой.

Для трех специальных направлений вектора распространения в табл. 6 представлены матрицы векторы поляризации А и собственные частоты.

Из приведенных значений легко выявить, что условие выполнено. На рис. 93 показано изменение по различным направлениям при Во всех трех направлениях векторы поляризации параллельны или перпендикулярны k. Форма колебаний при называется продольной, при поперечных колебаниях вектор А перпендикулярен k. В направлении пространственной диагонали и оси куба оба поперечных колебания имеют к тому же одинаковую частоту. Тогда каждое поперечное колебание при любом является собственным колебанием. В направлении диагонали плоскости, наоборот, все три поляризации полностью определены, и все три частоты полностью отличны друг от Друга. В одном из столбцов табл. 6 приведена скорость звука с. При очень малых значениях к вектор можно заменить благодаря медленно изменяющемуся полю смещения на В этом случае собственные колебания имеют форму плоских звуковых волн:

(см. скан)

которые пробегают в кристалле в направлении k. При малых значениях к частота пропорциональна а выражение представляет собой скорость звука. Она различна для продольных и поперечных волн. Кроме того, в кристаллах скорость звука зависит от направления распространения, как можно видеть из сравнения отдельных скоростей звука, приведенных в табл. 6.

Рис. 93 Зависимость частоты от вектора распространения к в частных случаях табл. 6 (при а — к в направлении ребра куба: в направлении пространственной диагонали: ; в к в направлении диагонали грани: В случаях обе поперечные волны имеют одинаковую частоту; А поэтому может быть любым вектором, перпендикулярным k. Для случая в обе поперечные частоты в общем случае различны и поляризации не меняются. Рели установить то и здесь обе поперечные частоты равны.

Если необходимо описать упруго изотропную среду, то это можно обеспечить соответствующим подбором обоих пружинных соединений. Уже по данным табл. 6 видно, что при все продольные и все поперечные скорости звука равны между собой. Можно легко показать, что это условие действительно соответствует упругой изотропности среды. При малых значениях к уравнения (64.12) и (64.13) можно разложить в ряд, и при имеет место

Уравнение (64.7а) лучше всего записать в векторной форме:

Из этого выражения легко установить, что для (продольная поляризация) решением является

а для Любого А, перпендикулярного к (поперечная поляризация),

Для каждого из направлений к получаем одно продольное и два поперечных колебания. Частоты зависят только от величины, но не от направления вектора распространения. При попоречных колебаниях вектор А расположен перпендикулярно к к, в основном он произволен. Это находится в соответствии с соотношениями для упруго изотропной среды.

При изотропности легко рассчитать упругий дебаевский спектр. Плотность точек в пространстве согласно уравнению (64.9) равна

если представляет собой объем кристалла. Тем самым в шаровом слое между лежат возможных значений k. При продольных колебаниях Поэтому спектральное распределение продольной компоненты имеет вид:

Спектральное распределение поперечных колебаний получаем точно так же:

Множитель 2 обусловлен тем, что каждому значению к соответствуют две независимые поперечные волны. Таким образом, весь упругий спектр получает вид:

Предельную частоту Дебая получаем из условия, что должно быть равно откуда

Рис. 94. Спектр решетки и спектр Дебая простейшей кубической решетки при одинаковых пружинных соединениях между ближайшими и следующими по удаленности соседями Спектр решетки оценивался по кривой, приведенной на рис. 93.

На рис. 94 показан упругий спектр по Дебаю и соответствующий примитивно оцененный спектр решетки. Наибольшая частота спектра Дебая лежит значительно выше, чем наибольшая частота спектра решетки, которая соответствует обсужденному примеру. Так как в нашем примере существенно больше то продольным значением для упругого спектра можно практически пренебречь. Тогда соответствует поперечной звуковой волне, длина которой имеет величину порядка постоянной решетки. Подобные качественные соотношения справедливы для большинства веществ. Скорость звука в продольном направлении зачастую существенно больше скорости в поперечном исправлении (для таких упругих и приблизительно изотропных металлов, как вольфрам и алюминий, Тогда в упругом спектре продольные колебания играют второстепенную роль. Однако частота по Дебаю и

наивысшая частота колебаний решетки при этом не очень сильно отличаются друг от друга, так что экстраполяция упругого спектра дает довольно хорошее приближение.

Спектры решеток чаще всего получают следующим образом. В основу кладут объем периодичности, который настолько мал, что число кубических уравнений (64.10) еще допускает их разрешение, но, с другой стороны, настолько велик, что спектр для него уже дает хорошее приближение для макроскопических размеров. Для кубических кристаллов число уравнений, которые нужно решить, значительно сокращается, так как в общем случае вследствие симметрии кристалла одному кубическому уравнению относительно соответствуют еще 48 уравнений с теми же собственными частотами. В общем случае обходятся решением примерно 100 кубических уравнений (число атомов в объеме периодичности составляет около 5000). Если известны силы, действующие между атомами решетки, то коэффициенты ряда можно рассчитать непосредственно. Однако обычно они не известны. Наоборот, как мы уже поступали выше, ограничиваются взаимодействием между соседними расположенными недалеко друг от друга атомами, так как силы взаимодействия быстро убывают с расстоянием. Число независимых коэффициентов становится тогда настолько малым, что их можно выразить только с помощью экспериментальных данных, например через упругие постоянные (скорость звука).

При высоких температурах величина представляет собой определяющую характеристику. Ее получают согласно уравнению (61.11), суммируя выражения по всем значениям в объеме периодичности и по Но так как все коэффициенты равны между собой, то

и при значениях определяемых из выражения

будет иметь место

Тогда при упругой изотропности

По теории Дебая

Правильное значение по теории решеток существенно отличается от значения по теории Дебая. Совпадение значений теплоемкости, полученных с помощью упругого спектра при высокой температуре, с классическими значениями также не очень хорошее.