25. МАКСВЕЛЛОВСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ

Относительно функции распределения скоростей до сих пор нам потребовалось лишь предположение, что она имеет шаровую симметрию и что

Шаровая симметрия означает, что функция зависит только от величины, но не от направления скоростей. Функция в действительности является функцией лишь одной переменной Максвелловское распределение скоростей, которое ниже мы обоснуем подробно, дает эту функцию в виде

Если принять данную форму функции, то обе константы Сир определяются из условий

Согласно (25.1) справедливо соотношение

так как

Из уравнений вытекает:

следовательно, окончательно

Если газа содержит в целом молекул, то число молекул в каждом кубическом сантиметре, имеющих скорости в интервале, определяемом выражением (24.3), будет равно:

Характерной особенностью распределения (25.2) является экспоненциальная функция, показатель которой содержит в числителе кинетическую энергию, а знаменатель «термическую энергию» Теперь можно было бы, исходя из выражения (25.2), задаться вопросом, как велика вероятность получения определенного значения или значения энергии Было бы очень грубой ошибкой утверждать, что эта вероятность пропорциональна или ибо вероятность для определенного, строго численно заданного значения всегда равна 0. Мы уже подчеркивали выше, что одна только функция вообще не имеет смысла, важно лишь произведение функции на интервал в пространстве скоростей. Поэтому, интересуясь распределением о, можно задавать вопрос лишь о вероятности того, что лежит в интервале от до В пространстве скоростей этому интервалу соответствует шаровая оболочка, которая ограничена двумя

шарами Но ее объем равен Поэтому мы получаем:

Следовательно, к нашей функции добавляется множитель Хотя плотность нашего множества точек при наибольшая, значение до однако, в этом случае равно нулю. Объем шаровой оболочки, образованной возрастает пропорционально Если, наоборот, мы будем искать вероятность для интервала энергий до то следует учесть, что

следовательно,

Рис. 47. Интервал от до в пространстве скоростей.

Таким образом, получим:

Разумеется, что отсюда должно снова следовать

К весьма поучительному результату приводит следующая постановка вопроса: выберем из молекул не одну, а большее количество, например и будем искать вероятность того, чтобы их общая энергия лежала в заданном интервале от до Сначала определяется вероятность того, что первая молекула лежит в одновременно вторая в с помощью функции

В соответствии с уравнением (25.2) эта функция пропорциональна выражению

Это выражение, учитывая поставленный вопрос, нужно проинтегрировать по всем значениям переменных от до для которых общая энергия

лежит в интервале от до Для этого мы должны определить объем шара в -мерном пространстве (радиус шара (см. § 35). Он пропорционален следовательно, в нашем случае пропорционален Дифференцируя по можно получить объем сферического слоя в виде Отсюда окончательный ответ:

естественно, снова должно получаться уравнение Справедливо

Для больших значений функция в соответствии с выражением (25.5) имеет неожиданный вид. Она имеет два сомножителя, первый из которых с ростом экспоненциально стремится к нулю, в то время как второй необычайно быстро возрастает. Чтобы наглядно проследить ход этой функции, несколько упростим обозначения и исследуем функцию

Функция которая здесь присутствует в степени, имеет максимум при а ее значение в этой точке равно Нагляднее иметь максимум, равный 1. Поэтому возьмем функцию

которая при всегда будет иметь значение, равное 1, а для любых х, отличных от 1, при больших наоборот,

становится чрезвычайно малой. Следовательно, максимум будет очень острым (рис. 48). Для очень больших практически превращается в нуль, как только х станет сколько-нибудь отличаться от 1. Поведение функции вблизи станет еще яснее, если мы подставим и разложим функцию в ряд по :

Рис. 48. Функция при различных значениях При представляет собой функцию распределения энергий молекул.

Таким образом, вблизи

Следовательно, снижается до значения уже при или Перенос этого результата на наше уравнение

очевиден. Применяя сокращенное обозначение мы можем записать функцию в форме

и заменить Функция при больших имеет чрезвычайно острый максимум при при Емакс Следовательно, максимум лежит несколько ниже, чем среднее значение что, однако, не удивительно, если учесть несимметричный относительно ход кривой Острота максимума функции имеет основополагающее значение для всего учения о теплоте. Ведь термодинамика начинается с утверждения, что энергия газа является функцией Однако если мы рассмотрим только одну молекулу газа при температуре то ее энергия может описываться весьма широкой кривой распределения по уравнению (25.4). Следовательно, не может быть и речи, что задание температуры определяет энергию. Схожая картина будет и для газа, состоящего лишь из нескольких молекул и помещенного в сосуд, в котором поддерживается температура Если же мы перейдем к очень большому числу молекул, например то на основании хода кривой мы можем сказать, что практически достоверно энергия имеет значение

Различие между и Емакс уже не играет роли. Следовательно, даже простейшее положение о том, что энергия является функцией температуры, приобретает смысл лишь тогда, когда максимум функции вырождается в чрезвычайно острый пик. Подобное состояние настолько характерно для всего учения о теплоте, что в дальнейшем в связи с явлениями флуктуаций придется вернуться к нему еще раз.