72. ЛИНЕИНАЯ И ПЛОСКАЯ РЕШЕТКИ ПО МЕТОДУ МАТРИЦ

а) Линейная решетка

Вместо, пространственной решетки будем вначале рассматривать линейную цепь, снова положив в основу модель Изинга. В каждой точке решетки расположен спин или а в направлении действует магнитное поле. Пусть между двумя соседними спинами вновь существует разница «энергии связи» величиной поскольку энергия при аитипараллельной ориентации на величину больше энергии при параллельной ориентации. Получим строгое решение данной проблемы для линейной цепи (каждая точка решетки имеет только двух соседей), пользуясь тем же методом, обобщение которого позволило Онзагеру произвести также строгое рассмотрение плоской решетки. Так как ни линейная цепь, плоская решетка в природе не реализуются, результату не следует приписывать непосредственное физическое значение. Но используемые при его получении методы, с одной стороны, поучительны с математической точки зрения, а с другой стороны, позволяют надеяться, что они послужат основой и для получения строгого решения задачи о пространственной решетке. Здесь мы ограничимся тем, что воспроизведем крайне простое рассмотрение линейных цепей для того, чтобы показать на его примере полезность анализа данной статистической проблемы с помощью матриц.

Пронумеруем точек цепи цифрами спин сразу следует за первым. Если велико по сравнению с 1, то путем замыкания кольца можно хорошо моделировать определенные граничные условия. Ими мы в данном случае не будем интересоваться.

Охарактеризуем теперь состояние цепи последовательностью чисел которые все должны быть равными или —1, а именно когда спин представляет собой спин наоборот, если является спином

Энергия связи между спинами № 1 и 2 равна в этом случае Здесь при параллельной ориентации, антипараллельной ориентации. Энергия спина относительно магнитного поля Н равна

Следовательно, энергия состояния равна:

Статистическая сумма имеет вид:

После введения симметричной двухрядной матрицы

где

и т. д., отдельное слагаемое в записывается в виде

Предписываемое для расчета суммирование по значениям означает теперь образование произведения В. Остающееся суммирование по означает суммирование по диагональному элементу В. Эта операция обозначается «шпур», таким образом,

Если означает матрицу, в которую трансформируется В на главной оси, т. е.

то

Теперь по общему правилу для каких-либо двух матриц шпур шпур Таким образом,

Если теперь чрезвычайно велико, то пренебрежимо мало по сравнению с Следовательно, имеем замечательный результат:

Статистическая сумма просто равна степени наибольшего собственного значения матрицы В. В нашем случае эта матрица имеет вид;

и являются корнями квадратного уравнения

где использованы сокращенные обозначения

Легко находим:

Для логарифма статистической суммы, таким образом, имеем:

где

дает среднее значение

После выполнения дифференцирования получим:

т. е. зависимость намагниченности от По вопросу обсуждения этой функции сошлемся на литературу. Для очень малых полей имеем:

Следовательно, для отнесенной к одному спину обратной восприимчивости получим:

Ближний порядок линейной цепи без магнитного поля Если подставить в вышеприведенные формулы то получим:

и

а также

Среднее значение равно Далее все произведения соседних статистически равноценны, так что, например, В данном случае следовательно,

Это количественное выражение для ближнего порядка. Предельный случай означает параллельную ориентацию соседних спинов, наоборот, чисто статистическую ориентацию.

б) Плоская решетка

Только что изложенный метод рассмотрения линейной цепи был распространен Онзагером на плоскую решетку, для которой еще удалось строго рассчитать статическую сумму. Распространение его

на интересующую нас пространственную решетку, по-видимому, не выполнимо. Некоторые попытки рассмотрения пространственной решетки известны К Мы бы зашли слишком далеко, если бы стали детально рассматривать эти остроумные приемы.