Б. НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНИКИ

30. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНЙЯ ГАМИЛЬТОНА

а) Вариационное исчисление, уравнения движения в форме Лагранжа и Гамильтона

Естественный подход к теории Гамильтона обеспечивается вариационным исчислением. Здесь нам потребуется лишь один простой закон, а именно относящиеся к проблемам вариационного исчисления уравнения Эйлера. Сформулируем эту чисто математическую теорему вначале для одной координаты

Пусть будет задана известная под названием «функции Лагранжа» функция координаты х и скорости х. Как х, так и х представляют собой функции времени Рассмотрим интеграл от до

Будем искать такую функцию для которой заданных «краевых значениях» интеграл имеет экстремальные значения.

Заменим кривую проварьированной кривой со значениями При этом а пусть будет неким числом. Для такой кривой становится функцией а:

Наше условие экстремума означает теперь, что для любого при равно 0.

Выполнение дифференцирования дает:

Очевидно, что

Интегрирование первого слагаемого даст нуль, так как при краевых значениях равно 0. Таким образом, остается

Для того чтобы этот интеграл для любой функции был равен нулю, выражение в фигурных скобках должно всегда быть равным нулю, но это, однако, означает, что искомая функция должна удовлетворять уравнению Эйлера:

Определим относящийся к х импульс с помощью выражения

и представим себе, что данное уравнение решено относительно х таким образом, что х оказывается функцией Введем далее функцию Гамильтона

где в правой части вместо х следует подставить только что упомянутую функцию переменных Для частных производных функции справедливы равенства

или

Уравнение (30.3), определяющее позволяет исключить в правой части все члены с частными производными от х. С учетом выражения (30.2) получим окончательно уравнения Гамильтона:

Отсюда для производной по времени функции следует:

Численное значение не зависит от

Переход от одной переменной к нескольким, например переменным представляет собой чисто механическую работу по вышеприведенной схеме, если задана функция Лагранжа

Будем искать такую функцию -для которой интеграл

имеет экстремум при заданных значениях для Заменим ее проварьированной функцией

и потребуем, чтобы для и для всех становящихся равным нулю на границах временного интервала функций

Как и ранее, получаем уравнения Эйлера:

Используя импульсы

определяем как функцию Гамильтона

где все следует понимать как функции

Запишем уравнения Гамильтона

Отсюда снова следует закон сохранения:

Параметры производные по времени от которых заданы с помощью условий (30.11), называют также «канонически сопряженными переменными».

Изменение во времени какой-либо физической величины, которая задана как функция координат, импульсов и времени, составляет:

После подстановки уравнений Гамильтона получаем:

Сумма в правой части уравнения сокращенно обозначается и называется «скобками Пуассона». Она играет большую роль в современной теоретической физике.

Изложенная таким образом математическая схема приобретает физическое содержание, если для данной интересующей нас системы функция Лагранжа выбрана так, что дифференциальные уравнения (30.8) или (30.11) отображают действительные уравнения движения. В простейшем случае система состоит из материальных точек, которые подвержены воздействию сил, имеющих потенциал. Если для материальной точки с массой ввести координаты то для случая нерелятивистской механики уравнения движения относительно координаты будут иметь вид:

Соответствующие уравнения справедливы и для Уравнения Ньютона (30.13) фактически представляют собой уравнения Эйлера для вариационной задачи:

Следовательно, в этом случае

3N уравнений (30.13) эквивалентны следующему требованию: движение происходит так, что величина

имеет экстремальное значение, когда конфигураций начале (ко времени и в конце (ко времени имеет определенные заданные значения. Но это требование совершенно независимо от системы координат. Отсюда следует: если вместо координат выбрать какие-либо другие параметры которые взаимнооднозначным образом являются функциями параметров и выразить кинетическую энергию К и потенциальную энергию через то образованные в виде

уравнения Эйлера также являются правильными уравнениями движения. Знак в аргументе здесь и ниже означает сокращенное обозначение То же самое справедливо и для

Так как кинетическая энергия одновременно квадратична в переменных то такова же она и при переменных Относящиеся к импульсы

поэтому линейно однородны в переменных Далее справедливо

Отсюда полученная в выражении (30.10) функция Гамильтона

равна сумме кинетической и потенциальной энергии. Таким образом, уравнение (30.12) представляет собой закон сохранения энергии.

При изменении формы уравнений движения (30.8) на каноническую форму (30.11) переходят от дифференциальных уравнений второго порядка для функций от времени дифференциальных уравнений первого порядка для функций от времени

б) Канонические преобразования

Канонические уравнения можно также Вывести непосредственно из вариационного принципа К Если подставить из (30.10) в (30-7а), то получим вариационную задачу

с функцией Лагранжа

в которой мы рассматриваем как независимые переменные. должно быть экстремумом относительно всех вариаций функций для которых установлены начальные и конечные значения. Тогда действительны уравнения Эйлера

в точности дают канонические уравнения (30.11). Здесь введен «модифицированный принцип Гамильтона» (30.18), поскольку он удобен для обсуждения той части теории канонических преобразований, которые понадобятся ниже.

Из элементарной механики известно, что решение многих задач облегчается, если уравнения движения записать не в декартовых координатах, а преобразовать в другую систему координат. Имея в виду, что переменные выступают в уравнении (30.18), эквивалентным образом рассмотрим теперь более общие преобразования:

Назовем каноническим такое преобразование, когда существует функция для которой уравнения движения в новых переменных снова имеют каноническую форму:

Благодаря (30.21) в новых переменных также должен выполняться модифицированный принцип Гамильтона:

Функция должна выбираться так, чтобы при подстановка экстремалей (30.18) в (30.20) получались экстремали (30.22). Из этого еще не следует, что подынтегральные функции обоих вариационных принципов после выражения новых переменных через старые с помощью соотношений (30 20) должны совпадать. Напротив, они еще могут отличаться на производную по времени любой функции всех переменных ведь

при вариации не дает никакого вклада, так как начальные и конечные значения твердо устанавливаются. Выберем

Хотя вследствие (30.20) среди параметров только независимы, это не является каким-либо ограничением. Для того чтобы экстремали обоих вариационных принципов совпадали, должно теперь выполняться условие

или

С другой стороны, дифференцирование по времени дает:

Оба этих уравнения выполняются, когда

Первые уравнения означают, что преобразование (30.20) каноническое, коль скоро его можно вывести из преобразующей функции согласно (30.24). Второе уравнение указывает, что новую функцию Гамильтона получают, разрешая уравнения преобразования относительно и подставляя значения в старую функцию Гамильтона.

Детерминант функционала, произведенного с помощью преобразования (30.20), равен единице:

Для доказательства выпишем вначале необходимые частные производные; следует понимать как функции

Используя (30.24) и обозначения получаем:

Вычисляя частные производные от второго из уравнений (30.24) по или получаем:

Если теперь в определителе

умножить строку на для и вычесть сумму перемноженных таким образом строк из строки, то, если эти операции проведены для всех левый нижний квадрант в вследствие (30.27) будет равен нулю. Остается

Используя сокращенные обозначения получаем, что равно детерминанту матрицы Теперь согласно (30.28) элемент матриц равен:

Тем самым условие (30.26) доказано.

В заключение рассмотрим преобразование (30.24) для случая, когда разница между новыми и старыми координатами и импульсами

бесконечно мала. Так как тождественное преобразование выполняется с помощью выражения

то в качестве преобразующей функции для бесконечно малого преобразования есть основания принять.

где бесконечно мало. Тем самым в соответствии с (30.24) будут иметь место соотношения

В предельном случае мы можем в заменить на в результате чего получим:

Если заменить здесь на и выбрать в качестве функцию Гамильтона то последние уравнения станут идентичными уравнениям движения. Таким образом, действительное изменение координат и импульсов за время описано с помощью бесконечно малого канонического преобразования, для которого преобразующей является функция Гамильтона. Так как последовательность канонических преобразований также дает каноническое преобразование, то значения в какой-либо момент времени связаны с начальными значениями через канонические преобразования. Теорема (30.26) о детерминанте функционала оказывается, таким образом, эквивалентной по значению обсуждаемой в следующем параграфе теореме Лиувилля.