71. ПРИБЛИЖЕНИЕ БЭТЕ ДЛЯ МОДЕЛИ ИЗИНГА

При обсуждении ферромагнетизма в § 70, а было введено допущение 4, согласно которому спины и I статистически распределены по решетке и в соответствии с этим точно воспроизвели более раннюю формулу Вайса

Если снова рассмотрим произвольно выбранную точку решетки в качестве центра, а ее ближайших соседей в виде кольца, то принятое допущение означает, что среднее число спинов I в кольце не зависит от того, находится ли в центре спин или Шаг к усовершенствованию модели состоит в том, что сам центр вместе с кольцом может рассматриваться со статистических позиций, в частности, что окружение кольца, т. е. в особенности следующие по удаленности от центра соседние атомы в среднем не зависят от ситуации в кольце. Будем

предполагать, что атомы кольца не являются ближайшими соседями (например, объемно-центрированная решетка).

Для проведения расчета нужно вначале определить энергию для любой возможной ситуации в кольце. Она складывается из следующих частей:

1. - энергии между двумя неодинаковыми соседями.

2. При наличии направленного вправо внешнего поля спина I по отношению к полю

3. Влияние окружения на спин в кольце опишем с помощью пока неизвестного «внутреннего» поля Н в том смысле, что равно энергии спина в кольце по отношению к полю

Другие вклады в энергию не рассматриваются. Охарактеризуем через ситуацию, при которой спин расположен в центре, а в кольце находится спинов Соответственно будет обозначать: спин в центре и спинов в кольце.

Соответствующие энергии будут равны:

Заметим, что воздействует и на центр, а только на атомы кольца.

При расчете вероятностей по схеме

следует учесть, что случай спинов в кольце может быть реализован различными способами. Если в целях сокращения обозначить

то, введя нормирующий множитель С, получим:

и

Отсюда для вероятностей пли того, что в центре находятся спин и соответственно имеем:

Далее рассчитаем среднее число спинов I в кольце. Оно определяется из выражения

Как для так и для справедливо:

и

Теперь можно выполнить суммирование, необходимое для расчета под знаком частных производных, следовательно,

Величина представляет собой вероятность того, что случайно выбранный спин кольца является спином I:

Теперь пришла очередь основного приема метода.

Центральный спин и какой-либо спин кольца с физической точки зрения равноправны. Вероятности того, что они представляют собой спин должны быть, следовательно, одинаковыми, т. е. должно выполняться или после сокращения на

С помощью этого уравнения или, что то же самое, гипотетическое внутреннее поле неявно задается в

виде функции К счастью, уравнение можно существенно упростить. Вначале его можно привести к виду

Отсюда следует

Дополнив эту дробь выражением имеем:

Если подставить сюда значения из соотношений (71.2) и обозначить

то получим:

Кроме того, для относительной иамагничености имеем При значениях из уравнений (71.3), а также при использовании уравнения (71.5) отсюда вытекает

После дополнения выражением и введения величин имеем:

С помощью уравнения (71.7) величина определяется как функция и тем самым отношение также определяется как функция тех же переменных.

Вначале обсудим уравнение (71.7) для случая, когда

равно нулю. (Известно, что практически всегда мало по сравнению с единицей.) Тогда при малых значениях как это следует из разложения гиперболического синуса в ряд, имеем:

Наоборот, если значительно больше 1, то с хорошим приближением справедливо

Рис. 109. К обсуждению уравнения (71.7) при

При однозначная зависимость получается лишь тогда, когда вначале принимается конечной величиной. Тогда из уравнения (71.7) при малых значениях в линейном приближении следует:

или

Отсюда при в пределе строго следует таким образом, весь ход задается кривой, имеющей излом в точке (рис. 109). При вместо этого следует ожидать получения плавной кривой, отмеченной на рис. 109 штрихами. (При обсуждении поведения в окрестностях следовало бы при разложении гиперболического синуса учитывать члены до 3-го порядка.) Обратим внимание, что ординату графика можно рассматривать как искаженную температурную шкалу при при Точка в которой исчезает внутреннее поле, очевидно соответствует температуре Кюри следователь но, будет иметь место

или

При разложении в степенной ряд по получим:

В качестве первого приближения ряд можно оборвать на члене

При низких температурах в уравнении (71.8) аргумент гиперболического тангенса становится большим 1. Следовательно, приближенно выполняется

С другой стороны, в этой области справедливо т. е. Следовательно, для намагничивания при низких температурах получим:

При высоких температурах величины становятся очень малыми, следовательно, согласно уравнению (71.8)

При значении из уравнения (71.9) отсюда вытекает:

или

При больших в выражении показатель степени мал по сравнению с 1, таким образом,

Но согласно уравнению (71.10)

следовательно,

Рис. 110. Изгиб кривой вблизи Ферромагнитная точка Кюри и парамагнитная

Используя значение из уравнения (71.6), получаем:

Для восприимчивости, отнесенной к одному спину, в связи с этим имеем:

По сравнению с графиком на рис. 108 получаем тем самым следующий ход изменения (рис. 110).

При очень высоких температурах Это и есть уравнение прямой Кюри-Вайса, имеющей, однако, «парамагнитную точку Кюри, при При приближении к кривая отходит от асимптотической прямой, достигая в точке значения, равного нулю. При очень малых значениях разности легко находим:

или

Указываемая этим уравнением кривизна зависимости полностью соответствует наблюдениям, хотя расстояние между обеими точками Кюри, как правило, оказывается заметно меньше, чем

Ближний порядок при температурах выше температуры Кюри. В простых рассуждениях Вайса или Брэгг-Уильямса сделаны весьма ограничивающие допущения относительно расположения атомов. При сверхструктуре было введено соотношение между ближним порядком и дальним порядком При обсуждении проблем разделения фаз и ферромагнетизма предполагалось, что гомогенные фазы представляют собой чисто статистическую смесь. Эти предположения приводят к скачку удельной теплоемкости при температурах выше температуры Кюри. Фактически сохраняющийся и при ближний порядок можно легко определить в случае ферромагнетизма из формул (71.3) и (71.4), используя приближение Бэте, т. е. устанавливая среднее число для спинов I в кольце, когда в центре также находится спин Непосредственно из уравнений (71.3) и (71.4) находим:

При и оказывается Следовательно, для получим:

в то время как при статистическом расположении атомов должно быть Если подставить согласно уравнению и разложить полученное выражение в степенной ряд по то получим приближенную зависимость

Таким образом, непосредственно за температурой Кюри относительное отклонение от статистического распределения составляет как раз

Это же самое значейе найдено в уравнении (71.12) для относительного отклонения восприимчивости от простейшего закона Кюри-Вайса сразу же при температурах выше