85. ФОРМУЛА НАЙКВИСТА

а) Общий вывод

Снова рассмотрим конденсатор, обкладки которого замкнуты на омическое сопротивление, поддерживаемое в термостате при температуре 7 (рис. 118).

Если на концах сопротивления устанавливается падение напряжения то возникает ток Теперь вспомним о том, что носители тока подвержены тепловому движению. Они, например, испытывают крайне нерегулярные удары от атомов проводника. Поэтому можно ожидать, что ток также крайне нерегулярно колеблется вокруг среднего значения с малыми амплитудами. Следовательно, действительная величина тока должна составлять

где появляется в результате статистического характера движения атомов. Таким образом, ток состоит из двух частей, одна из которых обусловлена напряжением а вторая представляет собой ток совершенно не связанный с напряжением, а вызываемый ударами нейтральных атомов. Поэтому расчет будем производить на основании опыта расчета броуновского движения. Сначала продолжим общее обсуждение формулы (85.1), записав ее в виде

где

Рис. 118. Омическое сопротивление и емкость С Омическое сопротивление находится в

Введенная таким образом величина V хотя и имеет размерность напряжения, однако не имеет абсолютно ничего общего с каким-либо приложенным или даже с измеряемым напряжением. Эта особенность имеет решающее значение для понимания обсуждаемых здесь процессов. В данном простом случае (конденсатор и сопротивление) ток I связан с изменением во времени с помощью соотношения заряд, С — емкость); следовательно, из уравнения (85.2) получим:

Используя представление в виде интегралов Фурье для согласно схеме § 83, для спектрального распределения, имеем

Ранее мы уже рассчитали в уравнении (84.10). При для «фиктивного напряжения», введенного в уравнении (85.2), имеем следующее выражение:

Это и есть формула Найквиста, которая вместе с уравнением (85.2) используется в качестве основы количественного расчета шума сопротивления. При этом нужно еще раз подчеркнуть, что только но не V имеет значение напряжения по понятиям учения об электричестве.

Тогда получается следующая схема применения уравнения Найквиста: сопротивление, поддерживаемое при температуре замыкается с помощью ряда коммутационных элементов (символизированных ящиком ) (рис. 119).

Ящик не должен содержать диссипативных элементов и, в частности, никакого омического сопротивления. Тогда имеем два уравнения для напряжения устанавливающегося на концах а именно, во-первых, падение напряжения, обусловленное нетермическими элементами У, и, во-вторых, уравнение (85.2).

Рис. 119. К формуле Найквиста с обобщенным сопротивлением в термостате и коммутационным элементом У, не дающим потерь. Полное сопротивление цепи

Для синусодиального тока (все параметры пропорциональны при обычном комплексном способе записи первое из этих уравнений имеет вид с действительным значением (в ящике ведь отсутствует омическое сопротивление). Если, например, У представляет собой последовательное соединение индуктивности и емкости С, то справедливо, в частности:

При более общем характере изменения тока можно всегда описать с помощью интеграла Фурье:

Тогда первое уравнение для гласит:

В качестве второго уравнения для тока используется уравнение (85.2). Если и для V записать интеграл Фурье

то два последних уравнения после исключения дают:

В результате имеем (см. § 83) спектральное распределение тока

В технике комплексную величину

называют полным сопротивлением контура. Согласно (85.4) получаем:

и

Если сюда подставить для его частное значение (85.5), то интеграл можно легко вычислить, используя тождество (83.12). Получаем в результате, что как средняя энергия — индуктивности, так и энергия емкости имеют правильное значение

В частности, имеем:

и

Используя в качестве переменной интегрирования величину получаем:

Следовательно, значение получается из значения путем перемены мест Входящий в выражение для интеграл можно привести к виду (83.12). Имеем, в частности:

Согласно (83.12) интеграл имеет значение следовательно, остается и тем самым

При переходе к часто предпочитаемой на практике, уравнение (85.6) можно представить в виде

б) Простая модель шума сопротивления

Для получения формулы Найквиста мы исходили выше из осциллятора, находящегося между пластинами конденсатора, рассчитывая затухание его колебаний благодаря сопротивлению, на которое замкнуты пластины. О физической природе сопротивления при этом совершенно не говорилось. Оно характеризовалось только омическим сопротивлением и могло представлять собой как электролит, так и металл. Хотя введение в рассмотрение осциллятора вполне оправдано, однако оно может выглядеть как некое искусственное вспомогательное средство. С другой стороны, хотелось бы понять, как в результате температурных движений в пределах сопротивления возникает ток описываемый уравнениями (85.2) и (85.4). Подобное обоснование формулы Найквиста в довольно общем виде было дано Колленом и Уэлтоном 1 с использованием аппарата квантовой теории.

Ниже вместо этого будет сделана попытка обосновать названную формулу с помощью простой классической модели. В качестве модели обладающего сопротивлением материала примем континуум, содержащий в каждом кубическом сантиметре свободно перемещающихся частиц с массой и зарядом Вследствие электрической нейтральности континуум имеет плотность заряда — Кроме того, по отношению к движущейся частице со стороны континуума действует тормозящая сила — Такая модель приблизительно соответствует электролиту. Ранее Друде пытался использовать эту модель и для описания металлов.

Под влиянием напряженности поля действующего в направлении х, частица приобретает скорость

Эта скорость обусловливает плотность тока следовав тельно,

Таким образом, удельное сопротивление нашей субстанции равно Сопротивление проволоки длиной I и поперечным сечением определяется из выражения

Если это сопротивление имеет температуру то согласно закону равнораспределения для -компоненты скорости должно выполняться:

Следовательно, помимо трения со стороны континуума должны действовать еще такие нерегулярные силы чтобы несмотря на трение на основании уравнения оставалось неизменным именно это значение Поэтому можно непосредственно использовать старые результаты (в частности, § 81) для броуновского движения. Для дальнейшего изложения потребуется из этих результатов только корреляционное уравнение (81.5) для

и связанное с ним и описанное в § 83 спектральное разложение Согласно (83.5) в общем случае справедливо

Выполнение интегрирования дает:

а при использовании уравнения (85.9) также

Теперь рассмотрим проволоку (длиной I и поперечным сечением В ней в общей сложности содержится частиц описанного вида. Если представляет собой скорость частицы то для мгновенного тока можно за писать:

При этом предполагается, что ток постоянен вдоль проволоки и частицы практически равномерно распределены по проволоке. Заметному отклонению от данного положения будут препятствовать связанные с ним соответствующие пространственные заряды. Для подтверждения уравнения (85.11) достаточно тогда замечания о том, что из выражения (85.11) среднее по времени значение будет равно:

Отделяя это среднее значение, вместо (85.11), как и должно быть, можно записать:

Второе слагаемое отлично от нуля только при наличии напряжения оно в таком случае равно Следовательно, мы получили расчленение

сформулированное из общих соображений в уравнении (85.1). При этом для справедливо следующее частное значение:

Таким образом, фиктивное напряжение введенное в уравнении (85.2), равно:

Величины имеют изотропное распределение Максвелла. Следовательно, можно опустить величину и ограничиться статистической характеристикой

где Ввиду, статистической независимости отдельных справедливо в связи с чем

Теперь в обеих частях уравнения можем перейти к среднему по времени и к спектральному разложению. Разложение для при любом имеет значение, определяемое уравнением (85.10). Поэтому

Однако, так как имеем в силу чего

Таким образом, для частот, малых по сравнению с обратной величиной времени торможения, получим полную согласованность с формулой Найквиста (85.4). Если же имеет величину порядка то из нашей модели это уравнение не может следовать, так как в этом случае не выполняется условие о наличии чистого омического сопротивления, что предполагалось при выводе уравнения (85.4).

Действительно, из уравнения движения при пропорциональных следует Связь между имеет тогда вид:

Вместо омического сопротивления данная модель имеет полное сопротивление

Поэтому при такой модели только в случае можно вообще ожидать выполнения соотношения