2. ПАРАМЕТРЫ СОСТОЯНИЯ

Для описания состояния системы используется ряд численных данных: например, для гомогенных тел — данных о химическом составе, объеме, температуре или других параметрах, характеризующих свойства тела.

Для начала ограничимся простыми телами, такими, как жидкости и газы с постоянным химическим составом, «состояние» которых определяется двумя переменными, например температурой и объемом V (позднее будут введены другие независимые переменные, такие, как, например, магнитный момент или числа молекул Если состояние определяется с помощью параметров то все другие присущие состоянию параметры должны быть функциями этих двух переменных.

Таким «параметром состояния» является, например, давление Позднее мы познакомимся с энергией и энтропией 5. Часто функциональная зависимость некоторой величины описывается не в виде явной функции а через ее дифференциальное приращение, вызываемое изменением независимых переменных, например

Обратим внимание вначале на физическую сущность приведенных здесь частных производных. Очевидно,

представляет собой изотермический модуль сжатия. Другой часто измеряемой величиной является температурный коэффициент расширения а (измеренный при постоянном давлении):

Первая входящая в уравнение (2.1) частная производная описывает рост давления при нагреве в замкнутом объеме. В случае конденсированных тел измеряют ее очень редко. В то же время мы можем легко вычислить ее из К и а. Если мы производим нагрев при постоянном давлении, т. е. то из уравнения (2.1) следует зависимость между

или, если ввести величины К и а,

то

Это есть искомая связь. Для иллюстрации рассмотрим численный пример для свинца при Зная, что находим:

Таким образом, для того чтобы при нагревании на сохранить обем постоянным, необходимо увеличить давление на

Выскажем в связи с уравнением (2.1) общее замечание. Пусть функция переменных вначале заданная в дифференциальной форме, т. е. следующим образом:

Рис. 1. К расчету

Рис. 2 Два пути для расчета

С другой стороны (рис. 1),

Таким образом, для того чтобы функции А(х, у) и действительно определяли функцию (т. е. чтобы было полным дифференциалом от они не могут быть произвольными, поскольку должно быть Отсюда должно быть справедливо

Соотношения (2.5) называют условиями интегрируемости дифференциального уравнения (2.4). Можно вывести важные соотношения (2.5) с помощью других рассуждений. Пусть функция в точке имеет произвольно выбираемое значение Для того чтобы согласно (2.4) получить ее значение в точке мы должны проинтегрировать это выражение по любому пути из точки до точки 1 в плоскости х, у (например, пути а на рис. 2):

Мы должны поставить условие, чтобы значение этого интеграла было независимо от пути. Следовательно, если мы выберем второй путь то также должен давать значение Если, в частности, возвратиться назад к точке то всегда должно иметь место равенство

где знак означает «интеграл по замкнутому контуру», например, от по пути (а) до 1 и обратно по пути .

Необходимо убедиться, что условия (2.5) и (2.6) математически идентичны. Для этой цели рассмотрим представленную на рис. 3 замкнутую кривую в направлении, указанном стрелкой.

Рис. 3. К расчету

Для расчета вырежем из кривой обозначенные цифрами и II отрезки с помощью двух параллельных оси х прямых на расстоянии друг от друга. Вклад этих отрезков в значение составит относятся к одному и тому же значению у, следовательно.

Отсюда имеем:

где двойной интеграл теперь распространяется на всю ограниченную кривой площадь. При аналогичной интерпретации (при этом следует учитывать направление движения), получим равенство

Следовательно, для того чтобы уравнение (2.6) было справедливо для любого замкнутого контура, должно обязательно выполняться условие (2.5).

Впоследствии мы будем иметь дело с такими физическими величинами, как подведенное количество тепла и совершенная работа, для которых уравнение (2.4) является только дифференциальным соотношением. Обозначим бесконечно малое приращение такой величины через т. е.

где теперь не обязательно должны удовлетворять условиям интегрируемости (2.5). В этом случае уравнение (2.8) не определяет некой функции Хотя приращение вдоль определенного пути, например а,

имеет вполне определенное значение, тем не менее оно отлично от приращения, полученного при интегрировании по другому пути и поэтому не может определять некую функцию Тогда по замкнутому контуру, как правило, окажется отличным от нуля.

Разница между рассмотренными здесь понятиями (полный дифференциал) и (только бесконечно, малая величина, а не полный дифференциал) имеет фундаментальное значение для следующих разделов.