31. Г-ПРОСТРАНСТВО

а) Определение Г-пространства

Пусть заданная система имеет степеней свободы, т. е. для описания мгновенной фотографии системы требуется

численных данных, которые мы обозначим в виде координат Если система состоит из материальных точек, то для этой цели могут выбираться пространственных координат от Тогда равно Пусть каждой координате соответствует импульс такого рода, что закон движения во времени может описываться функцией Гамильтона переменных с помощью уравнений (30.11):

В рамках классической механики представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергии. Например, для материальных точек массой которые взаимодействуют друг с другом с потенциальной энергией и заключены в объеме имеет вид:

Здесь Настенки является функцией 3N пространственных координат; внутри V эта функция равна нулю, однако при приближении одной из материальных точек к стенке становится бесконечно большой. Уравнения (31.1) в принципе дают «траекторию» если задано начальное состояние т. е. заданы начальные положения и начальные скорости всех материальных точек системы. Чтобы более наглядно представить эту в общем случае необычайно сложную траекторию, перейдем в пространство измерений, декартовы координаты которого обозначим величинами Такое пространство называется -пространством. Тогда каждому состоянию системы соответствует точка в -пространствен каждому заданному с помощью уравнений (31.1) движению — некая траектория. Если явно не зависит от времени, то согласно уравнению (30.12) численное значение при движении не изменяется, т. е. траектория лежит в гиперплоскости Здесь означает постоянную во времени энергию системы.

Если мы обозначим через -мерный вектор скорости в -пространстве и будем считать

тоже вектором, то уравнения (31.1) и (30.12) дают сведения как о величине, так и о направлении :

Таким образом, векторы и повсеместно одинаковы по величине и взаимно перпендикулярны.

Для изложения статистической механики необходимы две теоремы, касающиеся упомянутой траектории, одну из которых можно доказать, в то время как вторая должна быть принята как достаточно убедительная гипотеза. Это теорема Лиувилля и эргодическая гипотеза. Кроме того, нам нужно ввести еще одно понятие, а именно фазовыйобъем.

б) Теорема Лиувилля

Вместо одной системы в статистической механике рассматривают чрезвычайно большое число систем, которые ко времени каким-либо образом распределены в -пространстве и каждая из которых в соответствии с уравнениями (31.1) движется по своей траектории. Позднее сведения об отдельной системе мы будем заменять средними значениями по совокупности систем. Точки, изображающие системы, могут лежать в -пространстве настолько плотно, что совокупность можно охарактеризовать с помощью функции плотности в том смысле, что выражение

определяет число систем, которые ко времени расположены в элементе объема -пространства. Мы можем теперь рассматривать уравнения как гидродинамические уравнения движения для потока этой -мерной сплошной среды.

Для этого потока рассмотрим по аналогии с трехмерной гидродинамикой уравнение неразрывности

которое после введения субстанциональной производной

можно записать также в форме

В нашем -мерном -пространстве компоненты заданы с помощью выражения

Отсюда

На основании уравнений Гамильтона каждое из слагаемых здесь равно нулю, так что

Поток нашей совокупности представляет собой, следовательно, поток несжимаемой жидкости. Отсюда согласно (31.4а) всегда т. е. движущийся совместно с системой наблюдатель наблюдал бы возле себя всегда одну и ту же плотность.

При из выражения (31.4) для измерения в определенном месте получим:

Согласно этому в том случае, векторы взаимно перпендикулярны, локальное изменение плотности равно нулю. Из (31.3) известно, что векторы и ортогональны. Если есть функция одной только следовательно, одной только энергии, то также ортогональны. Таким образом,

Уравнение (31.6) можно записать еще одним способом, если мы в выражение

подставим значения из уравнений Гамильтона. Тогда

Таким образом, используя введенные в (30.12а) скобки Пуассона, имеем:

Уравнения (31.5), (31.7) и (31.7а) представляют собой различные формы теоремы Лиувилля.

в) Эргодическая гипотеза

Снова рассмотрим отдельную систему и ее траекторию, расположенную в плоскости и зададимся вопросом, каких точек этой поверхности достигнет система с течением времени. Вместо ответа на этот вопрос эргодическая гипотеза постулирует Больцман, 1887): траектория проходит через каждую точку плоскости

Рис. 55. Пример неэргодической системы.

Позднее было установлено, что эта формулировка математически не строга, вместо нее и Эренфест (1911) предложили квазиэргодическую гипотезу: с течением времени траектория проходит как угодно близко от любой точки плоскости

Несколько более точная формулировка: если окружить какую-либо точку плоскости окружностью конечного, но сколь угодно малого радиуса, то в принципе можно указать конечное (пусть даже очень большое) время в пределах которого траектория пересечет указанную окружность. Происходило очень много дискуссий о том, насколько доказуема эта гипотеза. Прежде всего следует сказать, что это утверждение, безусловно, справедливо не для каждой системы. Простейший примзр нарушения гипотезы представляет собой прямоугольный ящик с атомами, заключенными в нем (рис. 55). Если ко времени все атомы расположены друг возле друга и движутся строго параллельно какой-либо грани

ящика и если торцевые стенки действительно обладают идеальной отражательной способностью, то атомы будут до бесконечности двигаться взад и вперед, не мешая друг другу и не изменяя абсолютного значения своей скорости. Сразу же видно, что это в высшей степени особенный случай. Если даже только один из атомов отразится под небольшим углом, то вскоре он столкнется с другим, после чего будет двигаться уже под большим углом, и в самое кратчайшее время в сосуде установится абсолютно хаотичный беспорядок. Мы не будем рассматривать подобные случаи.

г) Фазовый объем ...

Фазовый объем, соответствующий определенной энергии определяется с помощью выражения

Звездочка при введена в связи с тем, что позднее для окончательного определения (без звездочки) будет добавляться еще один множитель, который, однако, в настоящее время не имеет значения. Следовательно, представляет собой объем -пространства, ограниченный поверхностью Для того чтобы интеграл (31.8) имелсмысл, нужно, чтобы для конечной энергии каждый импульс и каждая координата оставались конечными. Для импульсов это очевидное условие, для координат это означает ограничение пространства, в котором заключена система. В примере -функции, приведенной в (31.2), член стеши нужен для того, чтобы система в этом смысле была замкнутой. Это очень важно. Даже любое твердое тело с течением времени без введения такого условия улетучилось бы за счет испарения безвозвратно в бесконечность. Далее потребуется еще производная от по т. е.

Таким образом, представляет собой объем «слоя» в -простраистве.

В общем случае, говоря -пространстве, мы будем иметь дело с пространством с чрезвычайно большим количеством измерений. При этзм следует указать на одно весьма примечательное свойтво такого пространства.

Если мы, например, рассмотрим шар радиуса в пространстве с измерениями, то его объем V определяется с помощью соотношения

Величину постоянной С мы укажем позднее (§ 35, г). В настоящий момент она не имеет значения. Следовательно, объем шарового слоя толщиной поверхности этого шара равен:

Если теперь весьма велико, то

Таким образом, если толщина слоя 5 существенно больше величины то объем уже практически равен объему всего шара. Следовательно, при фазовый объем сосредоточен в неизмеримо тонкой пленке под поверхностью.

По поводу непосредственного расчета фазового объема для идеального газа читателю следует обратиться к § 35.