53. ГАЗ ФЕРМИ

а) Общий случай

Имея в виду применение для электронов в металлах, нас будет особенно интересовать случай сильного вырождения. Такой случай имеет место, если , или при использовании химического потенциала

Рис. 69. Число заполнений по статистике Ферми.

Число заполнений уровня равно:

Изменение среднего числа заполнений как функции энергии приведено на рис. 69 при При В пределах интервала порядка в окрестностях стремится к единице при уменьшении и к нулю при возрастании При заданном числе электронов и функции плотности значений может быть определено через благодаря соотношению

В частности, при имеет значение которое определяется выражением

Используя значение по уравнению (47.7) (предварительно умножив его на два в связи со спином электрона), получаем:

С другой стороны, при

Следовательно, средняя энергия электрона при нулевой температуре составляет:

Соответствующая потенциалу длина волны де Бройля определяется из выражения

т. е. она имеет порядок величины среднего расстояния между электронами. Для дальнейшего обсуждения вычислим функцию введенную в уравнении (51.4). При и плотности получим:

Разобьем и подставим в первом интеграле а во втором Тогда будем иметь:

В первом интеграле подставим

Отсюда

Оба последних интеграла только при малых заметно отличаются от нуля. При во втором интеграле верхний предел интегрирования можно заменить на и в обоих интегралах разложить по степеням х. Тогда получим:

Оба последних интеграла можно легко оценить.

Путем интегрирования по частям получим:

Для первого приближения третий интеграл можно опустить. Если в первый интеграл снова ввести то в конце концов получим:

При расчете соотношения (51.4) следует учесть, что Определим.

и получим

Нас интересует главным образом случай, когда лежит вблизи (53.1 а). Тогда в уравнении для при нашем приближении справедливо

следовательно,

Рис. 70. К грубой оценке зависимости газа Ферми от температуры

С другой стороны, в выражении для

Тем самым получаем:

Такого рода результата можно было ожидать уже на основании (рис. 69). Как видно из схематичного изображения (рис. 70), переход от заключается в том, что частицы, относящиеся к площадке А, попадают на площадку В, в среднем увеличивая свою энергию примерно на Число же таких частиц имеет порядок так что общее увеличение энергии составляет около

б) Применение к электронам в металлах

1. Удельная теплоемкость. Для случая свободных электронов уравнение (47.7) имеет вид:

Тогда

и, следовательно,

Отсюда согласно (53.6) энергия в расчете на один электрон составляет:

Для вклада свободных электронов в удельную теплоемкость это приводит к- уравнению

впервые выведенному Зоммерфельдом. Сравнение теоретического и экспериментального значений электронной теплоемкости по различным причинам затруднительно. Сначала должна быть "исключена решетчатая теплоемкость. При низких температурах она пропорциональна однако следует учесть, что по последним данным -закон справедлив лишь до температур порядка нескольких градусов Кельвина (§ 65). Далее необходимо знать «число свободных электронов, приходящихся на каждый атом», в случае щелочных металлов. Это число можно с уверенностью принять равным 1, тогда как в более сложных случаях его значение становится ненадежным. Наконец, исходя из квантовомеханических уточнений модели Зоммерфельда вместо термической плотности свободных электронов на границе Ферми нужно подставлять действительное значение плотности, иногда значительно отличающееся от классического.

Рис. 71. Металл с примыкающим паровым пространством.

Так как влияние указанных эффектов точно учесть нельзя, можно лишь констатировать, что теория более или менее правильно дает абсолютное значение и температурную зависимость вклада электронов в удельную теплоемкость, точное же количественное ее подтверждение все еще отсутствует.

2. Давление пара электронов в металле. Пусть закрытая полость частично заполнена металлом (рис. 71). Выясним плотность электронов (количество электронов в в вакууме. Для этого предположим, что электроны, выходящие из металла, преодолевают энергетический барьер Следовательно, если как и ранее, представляет собой кинетическую энергию, то электрон в паровом пространстве имеет энергию При равновесии как в паровом пространстве, так и в металле химический потенциал должен

иметь одинаковое значение (§ 20 и 22). Поэтому согласно уравнению (53.1) для парового пространства имеем:

а для металла

Для того чтобы электроны вообще не покидали металл, должно быть значительно выше т. е. должно выполняться не только по и На этом основании в знаменателе подынтегрального выражения для можно пренебречь единицей, в связи с чем получим:

Как и следовало ожидать, величина в экспоненте имеет здесь значение работы выхода. Уравнение (53.9) часто употребляется для расчета плотности потока термоэлектронов, для чего предполагается, что число электронов, покидающих металл, в состоянии равновесия равно числу электронов, попадающих на поверхность металла из парового пространства. Это последнее число равно если представляет собой компоненту х скорости электронов пара. Так как плотность электронов в паровом пространстве очень низка, то величину можно определить по законам классической статистики. В этом случае согласно кинетической теории газа

Используя уравнение (53.9), определяем плотность тока эмиссии:

Это часто используемая формула Ричардсона — Дэшмана.