ГЛАВА ТРЕТЬЯ. КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА

42. ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ РАССМОТРЕНИЕ НЕКОТОРЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

Изложенная в следующих параграфах квантовая статистика приводит к важному выводу, который мы сформулируем уже теперь. Пусть представляют собой собственные значения оператора энергии, т. е. при не слишком строгих формулировках «возможные значения энергии». Если собственное значение вырождено, то его следует вносить в данный список такое число раз, которое равно степени его вырождения. Если система находится в термостате с температурой то

представляет собой вероятность того, что система имеет энергию Точнее можно сказать: вероятность того, что при измерении энергии система будет обнаружена в состоянии, соответствующем Но при применении для макроскопических измерений мы, как правило, совершенно не интересуемся этими отдельными значениями энергии, а лишь тем, лежит ли, например, энергия в

интервале от до Если

то для вероятности найти систему в интервале энергий сразу же следует

Формула (42.3) уже позволяет непосредственно воспроизвести многие содержащиеся в гл. 2 результаты классической статистики. Следует только заменить введенный там дифференциальный фазовый объем на определенную выражением (42.2) плотность уровней энергии. Видно, в частности, что с помощью выражения (42.3) описывается «канонический ансамбль».

Для статистической суммы непосредственно из соотношения (42.1) следует точное выражение

или же, если можно ввести плотность собственных значений,

[Возможность перехода от (42.4) к (42.4а) будет более подробно исследована несколько позже (§ 54) при обсуждении вырождения газа Бозе.]

Выражение (42.4) позволяет сделать полезное для многих применений преобразование: если являются собственными функциями оператора Гамильтона соответствующими, собственным значениям т. е.

то выражение (42.4) идентично выражению

так как

Примечательно, что выражение (42.5) справедливо даже тогда, когда заменяется любой другой полностью нормированной ортогональной системой, например

Для доказательства разложим в ряд по при этом матрица унитарна, если как так и ортогональны и полностью нормированы

Вследствие того, что справедливо, как утверждалось выше, равенство

Простота выражений (42.1) или (42.3) обратно пропорциональна затруднениям их корректного обоснования с помощью основных понятий квантовой теории. По этой причине мы поставили их в начале раздела. Последующее обоснование читатель, интересующийся лишь практическими применениями, может свободно опустить.