33. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕНЕНИЯ

а) Закон равнораспределения

Имеется случай, для которого мы действительно можем строго вычислить микроканоническое среднее (32.5), а, именно для величины Сначала, используя введенные с помощью выражений (31.9) и (31.10) функции вместо (32.5) мы можем записать:

Для с помощью частного интегрирования по (при постоянстве всех остальных переменных) получим:

Интеграл (при постоянных значениях следует брать вдоль прямой, параллельной оси на участке, пока эта прямая проходит в пределах объема, ограниченного поверхностью (рис. 62). Если значения в точках пересечения указанной прямой с данной поверхностью, то в обеих точках имеет значение, равное

Тем самым будет выполняться равенство

Далее выражение представляет собой объем «трубки» длиной и поперечным сечением вырезанной из фазового объема. Следовательно,

Рис. 62 Фазовый объем определяемый путем

Это выражение в уравнении (33.1) нужно продифференцировать по При этом получим

следовательно,

Согласно (33.1) мы имеем:

Подобные соображения справедливы для каждого Таким образом, мы имеем неожиданно общий результат:

Все средних значений (33.2) оказываются одинаковыми. Это и есть закон равнораспределения.

Если кинетическая энергия зависит от в форме (где В. могут быть произвольными функциями

а потенциальная энергия от импульсов не зависит) то

Следовательно, согласно (33.2)

равно средней кинетической энергии, приходящейся на одну степень свободы. Теперь допустим, что наша система содержит также один свободный атом газа. Из кинетической теории газов мы знаем, что для него средняя кинетическая энергия, приходящаяся на каждую степень свободы, имеет значение Согласно (33.2) любая другая степень свободы должна обладать тем же свойством. Следовательно, мы предварительно имеем право приписать нашей системе температуру, определяемую соотношением

Несколько более общий вывод мы можем получить из выражения (33.2). Если в соотношении кинетическая энергия является однородной квадратичной функцией от

Следовательно, согласно (33.2) и (33.4) среднее значение кинетической энергии равно:

Это выражение представляет собой частную форму закона равнораспределения для системы с степенями свободы.

Другим следствием выражения (33.2) является теорема о вириале. Вначале из (33.2) совместно с (33.4) следует:

Если означают декартовы координаты частиц то, например, выражение — представляет собой проекцию на ось х силы, действующей на частицу № 1. Таким образом, последнее уравнение означает:

Если к тому же принять, что подразумеваемое здесь усреднение по ансамблю частиц идентично усреднению по времени (32), то мы получим теорему о вириале (28.2).

б) Еще раз о максвелловском распределении скоростей

Мы можем убедиться, что рассматривая микроканоническим ансамбль с свободными атомами газа, можно действительно получить распределение Максвелла для вероятности одной компоненты скорости одного атома газа. Однако математически точное выражение для этого распределения отсюда получить нельзя, так как в распределении Максвелла любое, даже весьма большое значение может встретиться с конечной вероятностью, в то время как в микроканоническом ансамбле кинетическая энергия никогда не может стать больше постоянной энергии всего ансамбля. атомов газа имеют степеней свободы. При числе 3N компонент импульсов зависимая от импульсов часть функции Гамильтона равна Для математического описания микроканонического ансамбля используем -функцию, определяемую с помощью выражений для С ее помощью микроканонический ансамбль описывается следующим образом:

В данный момент нас интересует только одна компонента, например

Тогда с точностью до независимого от множителя вероятность того, что находится в интервале будет равна

Используя вышеприведенное выражение для получаем:

Подынтегральное выражение зависит только от значения вектора -мерного пространства: В этом пространстве объем шара радиусом пропорционален величине объем «шарового слоя» равен Если мы обозначим временно а то, опять-таки с точностью до численного множителя

Теперь введем в качестве независимой переменной 5 аргумент -функции, примем

Тогда

или

Подставив значения выделив не зависящий от множитель и опустив индекс получим окончательно:

Данная формула строго выполняется для любого числа Если теперь бесконечно велико, то заметно отличается от нуля лишь тогда, когда величина очень мала. Но в этом случае

Если пренебречь числом 3 по сравнению с то Но из закона равнораспределения мы знаем, что Таким образом при больших мы действительно получили распределение Максвелла.