77. УРАВНЕНИЕ ЛАНЖЕВЕНА

Выше мы получили соотношение исходя из справедливости барометрической формулы (75.2) для стационарного состояния. Перейдем теперь к соображениям, которые непосредственно вытекают из закона равнораспределения

Для этого следует рассмотреть уравнения движения частицы. Центр ее тяжести движется в направлении х согласно уравнению

где — совокупность всех сил, действующих со стороны окружающих молекул жидкости. Основой последующих рассуждений является представление в виде:

Смысл этой записи следующий: если усреднить силу по очень многим частицам, имеющим одинаковую скорость то в качестве среднего значения должна получиться макроскопическая сила трения — Следовательно, при подобном образовании среднего значения получим Величина включает в себя нерегулярную (статистическую) часть силы» в которой доли, связанные с ускорением и замедлением, в среднем компенсируются. Тем самым уравнение движения получает вид:

В соответствии с этим уравнением, без воздействия нерегулярной силы частица вскоре пришла бы в состояние покоя:

( где время торможения).

Нерегулярная сила должна приводить к тому, чтобы соотношение в среднем было неизменным; Нас главным образом интересует определяемая

этим условием связь между С целью упрощения способа записи введем:

Таким образом, исходное уравнение для последующих рассуждений получит вид:

Позднее нас будет интересовать вопрос о том, какие количественные соотношения для функции можно вывести из требования

Приведем вначале толкование уравнения (77.4), данное Ланжевеном, которому удалось искусно исключить из (77.4) эту неопределенную функцию Заменим в выражении на х и умножим все уравнение на х. В связи с тем, что

получим

Если теперь образовать среднее по очень многим частицам, то Кроме того, Если, например, сначала провести усреднение по частицам, находящимся в положении х, то для них имеет силу Следовательно, выражение равно нулю и при усреднении по всем частицам. Таким образом, для величины получим простое дифференциальное уравнение

Его решение имеет вид:

где С — постоянная интегрирования.

При для времен, больших по сравнению с временем торможения, в связи с получим

Отсюда среднее квадратичное смещение за время равно (рис. 114):

Рис. 113. Область интегрирования в плоскости

Рис. 114. Средний квадрат смещения в зависимости от согласно уравнению (77.6).

Тем самым заново подтверждено соотношение

Напротив, если условие не выполнено, то необходимо определить постоянную интегрирования С в уравнении (77.5) из начальных условий. Если, к примеру, при все частицы сконцентрированы в точке то следовательно,

и

При отсюда следовало бы Далее поэтому Этого и следует ожидать в действительности, когда совершенно свободные частицы разбегаются с термической скоростью. Для больших времен последняя формула дает

Половина величины отклонения значения по теории чистой диффузии представляет собой квадрат «пути торможения» на котором частица, движущаяся с термической скоростью затормаживается лишь под воздействием трения. Тогда из выражения

следует

Итак, макроскопическая теория диффузии дает надежные результаты только для таких расстояний, которые велики по сравнению с введенным здесь путем торможения. Мы еще встретимся с этим ограничением.