Главная > Теория теплоты (Беккер P.)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

62. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ И ОБЩИЙ ОБЗОР

Решающим при данном рассмотрении является то, что вся механика системы согласно уравнениям (61.13) распадается на систему 3N независимых линейных осцилляторов, частоты которых представляют собой собственные частоты По классической теории каждый из осцилляторов вносит в энергию вклад и мы снова получим старый результат. Но теперь легко можно осуществить переход к квантовой теории. Ведь квантовая теория линейного осциллятора очень проста и можно сразу же указать значения его энергии и статистическую сумму. Так как осцилляторы независимы, то каждый из них

вносит свой вклад в среднюю энергию кристалла

где - средняя энергия линейного осциллятора с частотой при температуре определяемая на основании квантовой статистики из выражения

Для кристаллов макроскопических размеров собственные частоты в общем случае лежат очень близко (друг к другу). В таком случае целесообразно ввести спектральное распределение частот, которое показывает, сколько собственных частот лежит в интервале Тем самым внутреннюю энергию кристалла можно выразить с помощью уравнения

Выбор одной из двух формулировок — (61.1) или -определяется конкретными условиями.

В соответствии с этим для расчета калорических свойств требуется только спектральное распределение, а не отдельные собственные частоты. Следовательно, проблема механики состоит из двух частей. Сначала на основе сведений об атомах или иным способом необходимо установить коэффициенты разложения потенциальной энергии по ним должны быть затем рассчитаны частоты или спектр.

Первое объяснение отклонений от закона Дюлонга - Пти при низких температурах было дано Эйнштейном. Эйнштейн предположил, что каждый атом кристалла в первом приближении может рассматриваться независимым. Тогда колебания атома можно описать, считая соседние атомы неподвижными. При этом предполагается, что атом упруго связан со своим положением равновесия и может быть описан как пространственный осциллятор с тремя собственными частотами. В простых кубических решетках все три частоты одинаковы. Тем самым атом эквивалентен трем линейным осцилляторам с частотой Применяя такое рассмотрение к каждому атому, термическую энергию всего кристалла теперь можно представить в виде

а теплоемкость, отнесенную к одной частице

Этот результат можно записать и в терминах спектрального распределения. Согласно допущению Эйнштейна спектральное распределение является монохроматичным, оно представляет собой функцию, которая отлична от нуля лишь Интеграл по спектру всегда равен общему числу собственных частот Эту ситуацию можно математически описать, используя -функцию Дирака (§ 33,6):

На рис. 82, а показаны спектры, внутренняя энергия и удельная теплоемкость кристалла согласно модели Эйнштейна. Для характеристики термического поведения целесообразно ввести характеристическую температуру обозначив Для температур выше получаем классическое поведение. При температурах ниже колебания постепенно замораживаются, удельная

теплоемкость при подходе к экспоненциально снижается.

Внутренняя энергия и удельная теплоемкость определяются из выражений:

Рис. 82. (см. скан) Спектр внутренняя энергия и удельная теплоемкость по Эйнштейну по Дебаю и по теории решетки Для лучшего сравнения в случае удельной теплоемкости нанесены все три кривые. Злачения и можно значительно сблизить, если выбрать несколько меньшее значение

Удельная теплоемкость зависит только от отношения

Модель Эйнштейна в сочетании с квантовой теорией дает качественно правильную картину хода удельной теплоемкости. Однако количественное согласование с экспериментальными данными неудовлетворительно. По данным экспериментов теплоемкость при низких температурах изменяется пропорционально в то время как согласно уравнению (62.4а) ее изменение носит почти экспоненциальный характер. Но от подобной грубой модели нельзя требовать, чтобы она количественно правильно отображала ход удельной теплоемкости. Более точную температурную зависимость можно получить только с учетом действительного спектра собственных колебаний.

Расчет спектра относится к задаче теории кристаллической решетки, за решение которой первыми взялись Борн и Карман. В следующем параграфе их решение будет пояснено на простых примерах. Примерно в то же время Дебай предложил исключительно простой метод приближенного определения спектра. Дебай исходил из того, что часть колебаний решетки может быть определена. Это упругие колебания кристалла, имеющие очень низкие частоты. Они представляют собой звуковые волны, длина которых намного больше постоянной решетки. Частоты и спектр таких колебаний очень легко определить с помощью аппарата теории упругости. Следовательно, по упругим постоянным кристалла уже можно рассчитать спектр низких частот. Оказывается, что спектральное распределение пропорционально квадрату частоты. Коэффициент пропорциональности зависит только от упругих свойств материала.

В § 64 приводится расчет упругого спектра. Дебаи предположил, что ход изменения низких частот можно экстраполировать на более высокие частоты. Но так как известно, что спектр может иметь только собственных колебаний, то упругое распределение должно быть оборвано на некоторой предельной частоте. Эта частота выбирается таким образом, чтобы число собственных частот стало равным Следовательно, спектр Дебая

имеет следующий вид:

где рассчитывается только по упругим постоянным. При таком приближении термическая энергия будет равна:

а удельная теплоемкость

Характеристическая температура определяется здесь с помощью выражения Подставив имеем:

Удельная теплоемкость снова зависит только от отношения

При низких температурах, когда верхний предел интегрирования можно принять равным бесконечности, после чего получим:

При низких температурах теплоемкость оказывается пропорциональной при высоких температурах снова имеем классическое значение Ход во всем диапазоне температур по приближению Дебая прекрасно совпадает и с экспериментом. В табл. 5 показано сравнение между экспериментальными и рассчитанными значениями На рис. 83 приведен расчетный ход удельной теплоемкости и экспериментальные точки.

Рис. 83. Удельная теплоемкость свинца, серебра и же леза в зависимости от Использованные значения равны: для свинца для серебра для железа

Так как в теории используется единственная постоянная то удельные теплоемкости различных веществ можно представить в виде единой кривой, если нанести их в зависимости от Лишь позднее на основании более точных экспериментальных измерений обнаружилось, что для более точного описания отдельных особенностей поведения теплоемкости следует вернуться к спектру по теории решеток. На рис. 82 изображены спектр, энергия и удельная теплоемкость на основании теории Дебая. Одновременно для сравнения показан спектр, рассчитанный по теории решеток, и вытекающие из него термические характеристики.

Хотя оба спектра довольно сильно отличаются друг от друга, различие их удельных теплоемкостей выражено не очень сильно. Предложенное нами рассмотрение недостаточно полно объясняет различия в спектрах.

Для того чтобы исследовать приближение удельной теплоемкости к классическому значению при высоких

Таблица 5 (см. скан)


температурах, лучше всего разложить в ряд выражение для приведенное в общей форме в (62.1) или (62.1а). При имеем:

Отсюда удельная теплоемкость, отнесенная к одному атому, при высоких температурах будет равна:

Если ввести средние значения по спектральному распределению

то удельную теплоемкость при высоких температурах можно записать в виде

Если известны коэффициенты разложения потенциала, то по уравнению (61.11) можно сразу же определить В следующих разделах будет показано, как можно использовать такой подход.

Из спектров на рис. 82 видно, что верное значение определенное по теории решетки, будет значительно меньшим соответствующего значения, рассчитанного по спектру Дебая. Правда, граничные частоты обоих спектров примерно совпадают, однако спектр по теории решетки в целом более сконцентрирован в области меньших частот. Отклонения от классического значения при высоких температурах с учетом действительного спектра меньше, чем по теории Дебая. Напротив, при низких температурах теория решетки и теория Дебая должны давать одинаковый результат. В этом случае важное значение имеют лишь малые частоты, а здесь спектр по теории решетки и упругий спектр точно совпадают.

До сих пор мы, основываясь на термической энергии, обсуждали только удельную теплоемкость. При этом постоянный член, который определяется слагаемым в выражении для энергии осциллятора Планка, никакой роли не играет. Эта нулевая энергия также является типичным квантовомеханическим эффектом, свидетельствующим о том, что классическое представление, в соответствии с которым при абсолютном пуле в узлах решетки находятся неподвижные атомы, должно быть пересмотрено. Связь между кинетической и потенциальной энергией по квантовомеханической теории приводит к тому, что при абсолютном нуле устанавливается такое основное квантовомеханическое состояние, что сумма

кинетичёской и потенциальной энергии имеет минимум. Ситуация здесь в основе полностью идентична той, которая имеет место для отдельного линейного осциллятора. Если бы положения атомов были заданы почти точно, то при описании такого состояния нужно было бы считаться с существенной неопределенностью кинетической энергии. Напротив, для описания почти неподвижного атома необходимо считаться с большой неопределенностью положения атомов, т. е. с неопределенностью потенциальной энергии. Следовательно, положение атомов даже в точке абсолютного нуля определено не точно. Мерой движения в нулевой точке является нулевая энергия. Если сравнить ее с термической энергией при высоких температурах, то можно увидеть, что нулевая энергия согласно уравнению (62.76) сравнима с термической энергией, так как обычно характеристические температуры имеют порядок величины нескольких сотен градусов Кельвина. Порядок величины относительных колебаний расстояний между соседними атомами решетки даже при абсолютном нуле равен около Во всяком случае нужно понимать, что эти отклонения намного больше деформаций, которые могут произойти при воздействии нормальных упругих напряжений.

1
Оглавление
email@scask.ru