80. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О СЛУЧАЙНОМ ДВИЖЕНИИ

Перепишем уравнение (79 5), обозначив:

и

(j теперь изменяется от 1 до )

Тогда уравнение (79.5) примет вид.

Истолкуем это уравнение как ступенчатое движение по оси х с последовательными шагами Пусть будет известна

как вероятность того, что шаг лежит между Вероятность для подлежит определению.

По-видимому,

так как -вероятность того, что первый шаг лежит в интервале второй — в Интегрировать следует по части -мерного пространства для которой

Такого обременительного ограничения области интегрирования можно избежать, используя интеграл Дирихле: функция

имеет следующий вид:

[Для доказательства нужно заменить и проинтегрировать в комплексной плоскости

Следовательно, если подставить то полученная таким способом функция равна 1 в интересующей нас части пространства а в остальной части равна нулю. Таким образом, получаем:

где теперь все интегралы имеют пределы от до

Так как бесконечно мало, имеем:

Соответственно этому коэффициент Фурье для равен произведению коэффициентов Фурье для Если, например, через обозначить коэффициенты преобразований Фурье для т. е.

то результат получит предельно простой и в высшей примечательный вид:

В частности, функции Гаусса

Следовательно, если все функции Гаусса, то в соответствии с (80.4) получим:

Согласно уравнению (80.5) это соответствует функции Гаусса при

Но это и есть результат, использовапиый в предыдущем параграфе.

Другие примеры, относящиеся к данному кругу вопросов, известному в английской литературе как «random flight», можно найти у Чандрасекара.