49. СИСТЕМА ИЗОЛИРОВАНА

Действуя прямолинейно, мы должны были бы пытаться определить «фазовый объем» представляющий собой количество таких совокупностей чисел для которых

Соответствующий расчет производился Фаулером и Гугенхеймом. Подробно на этом останавливаться не будем.

Обсудим проблему, основываясь на первой работе по вырождению газа, выполненной Эйнштейном. Не будем определять средние значения Вместо них произведем расчет наиболее вероятных значений которые обозначим через Но эти наиболее вероятные значения представляют интерес лишь в том случае, когда они практически совпадают со средними значениями, следовательно, когда рассеяние пренебрежимо мало. Но, как будет показано ниже, в случае (48.7) об этом не может быть и речи. Если все-таки использовать наиболее вероятное распределение, то с самого начала нужно изменить постановку вопроса, что весьма характерно для статистического метода.

Рассмотрим очень большое число близлежащих энергетических уровней и будем считать, что все они имеют одинаковую энергию В таком случае вместо (48.7) мы получим следующую схему:

причем снова всегда должны выполняться условия

Строго говоря, здесь опять следовало бы ввести интервал энергий однако на результат это не повлияет. В то время как схема (48.7) точно описывает одно из состояний всей системы, схема (49.3) охватывает чрезвычайно большое число состояний типа (48.7), и вероятность обнаружить состояние, описываемое

совокупностью чисел пропорциональна числу состояний (48.7), совместимых с условием (49.3), поскольку все эти состояния согласно § 45, а равновероятны. Обозначим это число через

Его расчет и является нашей ближайшей задачей. Для этого определим число различных возможностей распределить частиц по «ячейкам». В случае статистики Ферми (в каждой из ячеек содержится или 1 частица) сразу же получим ибо это число и будет числом возможностей выбрать из ячеек заполненных ячеек. В случае статистики Бозе к цели приводит следующий метод. Приготовим для каждой ячейки и каждой частицы ярлык, обозначив ярлыки, относящиеся к ячейкам, через а относящиеся к частицам — через Ярлык отложим в сторону, а остальные ярлыков поместим в урну. Будем вынимать оттуда ярлыки по одному и складывать их по порядку справа возле ярлыка А. Таким образом, получим, например, следующую картину:

Эту картину иитерпретируем так, что в каждой ячейке лежат те частицы, ярлыки которых оказались справа от соответствующего ярлыка ячейки и, следовательно, в нашем примере частицы 2 и 6 попадают в ячейку У, частица в ячейку 5, в ячейке 3 частиц нет и т. д. Очевидно, общее число таких размещений равно при заданных Очевидно мы не получим нового состояния, если лишь поменяем местами какие-либо из частиц, а также если мы поменяем местами какие-либо из ярлыков А (вместе с примыкающими к ним ярлыками В). Следовательно, в целом ситуацию можно реализовать различными способами. Если перемножить числа состояний для всех то окончательно получим:

Наиболее вероятной совокупностью чисел является та, которая при соблюдении дополнительных условий (49.4) приведет функцию к максимуму. От этих дополнительных условий можно освободиться с помощью двух параметров Лагранжа находя максимум функции

и определяя затем параметры таким образом, чтобы выполнялись условия (49.4). Если в выражении (49.6) после логарифмирования пренебречь 1 по сравнению с и использовать формулу Стирлинга (для сильно вырожденного газа Ферми использование формулы Стирлинга сомнительно, так как то будем иметь:

Определим далее максимум из условия откуда

Решение относительно дает наиболее вероятное распределение:

Если учесть, что параметры могут быть выражены через величины основе соотношений то станет также известной величина

Максимальное значение принимаемое функцией; при наиболее вероятных распределениях (49.9), вытекает из выражения (49.8) после элементарного расчета:

Здесь идентично вводимой позднее функции

Функции имеют следующую термодинамическую интерпретацию. Согласно общим положениям § 45, б энтропия задается с помощью соотношения

где обозначает число состояний, доступных для изолированной системы. Это число определяется выражением

Суммирование относится ко всем для; которых справедливо (точнее

Если максимум при достаточно острый, то сумму можно заменить ее наибольшим слагаемым, в результате чего получим:

Если в выражении (49.7) рассматривать максимальные значения как функции параметров то вытекает

С другой стороны, если выбрать в качестве переменных в уравнении (49.7) и понимать как

функции то при дифференцировании по выражение

Следовательно, с учетом (49.13) получим: и подобным же способом

С другой стороны, для энтропии всегда имеет место

Благодаря соотношениям (49.12) и (49.14) параметры Лагранжа получают термодинамическое толкование:

Другой способ рассуждений приводит непосредственно к средним значениям для ситуации, заданной выражениями (49.3) и (49.4). Используя введенную в (49.5) и специализированную в (49.6) функцию получаем

Введем

Тогда согласно (49.11) выражение имеет значение энтропии. В соответствии с (49.6) числитель вышеприведенного выражения для равен:

для статистики Бозе

для статистики Ферми

Подставим далее при но при Тогда получим:

и

Вторые сомножители в правой части могут быть теперь включены в произведения, так что необходимость в условии отпадает.

Вследствие должны удовлетворять условиям

следовательно,

Тем самым (для статистики Бозе) имеем:

Если второе слагаемое дополнить выражением будет все еще строгой запись

Так как наверняка и можно осуществить разложение в ряд:

Однако ввиду термодинамического значения

Далее с хорошим приближением можно принять, что Но тогда имеем:

для статистики Бозе и соответственно

для статистики Ферми. Но эти значения идентичны наиболее вероятным значениям (49.9).

И, наконец, исследуем еще рассеяние значений на основании заданной в (49.6) частотной функции. Для этой цели заменим причем, в силу (49.4) отклонения от наиболее вероятных значений должны удовлетворять условиям Примем малыми по сравнению с Тогда, используя разложение для имеем:

Смешанные производные типа отсутствуют.

Член, линейный по исчезает, ведь так определены Следовательно, при значениях взятых из выражения (49.6) (снова пренебрегаем единицей по сравнению с получим (аргумент записываем сокращенно): для статистики Бозе

для статистики Ферми:

или

Здесь (в целях сокращения записи) обозначает:

Таким образом, для относительной квадратичной флуктуации имеем т. е.

Следовательно, если как так и являются достаточно большими числами, то относительные отклонения от наиболее вероятных значений настолько малы, что по следние могут служить заменой средних значений.