48. N ОДИНАКОВЫХ НЕВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ

Согласно уравнению (38.8) классическая теория для газа, состоящего из одинаковых частиц, дает следующее выражение:

Все интегралы можно снова вычислять независимо друг от друга. Учитывая, что вместо уравнения (47.1) получаем:

При используя формулу Стирлинга имеем:

Если теперь ввести свободную энергию и учесть, что то, например, для энтропии получим приведенное ранее [см. (35.7)] значение

В квантовой теории учет принципа Паули требует коренного изменения по сравнению с классической трактовкой. Этот принцип гласит:

Пусть система состоит из одинаковых простых частиц. Под простыми частицами ниже подразумеваются электроны, протоны и нейтроны. Обозначим координаты частицы буквой символизирующей все три пространственные координаты и координату спина. Тогда любое состояние

(в смысле квантовой теории) при перестановке любых двух переходит в состояние Если система содержит различные виды простых частиц, то в общем случае справедливо следующее утверждение: «Функция меняет свой знак при перестановке двух одинаковых простых частиц».

Используем данный принцип для атомов, состоящих из двух простых частиц, например протона и электрона в атоме водорода. В этом случае следует сначала записать в виде функции координат отдельных частиц.

Например, если для первого атома водорода координата протона будет а координата электрона то при атомах водорода будем иметь Перестановка двух атомов водорода 1 и 2 означает теперь перестановку координат и одновременно координат При этом функция дважды меняет свой знак, т. е. в конечном итоге остается без изменений. Отсюда вытекает обшее правило: функция для одинаковых частиц при перестановке двух частиц остается неизменной, если отдельная частица содержит четное число простых частиц (статистика Бозе — Эйнштейна). Наоборот, меняет свой знак при подобной перестановке, если число простых частиц в частице нечетное (статистика Ферми). Важными частными случаями являются: электроны как простые частицы подчинены статистике Ферми; атомы содержат два протона, два нейтрона и два электрона и, следовательно, следуют статистике Бозе; изотоп напротив, имеет только один нейтрон и подчиняется статистике Ферми.

Уравнение Шредингера для системы, состоящей из одинаковых невзаимодействующих частиц, имеет вид:

Отдельные операторы отличаются лишь тем, что они воздействуют на соответствующую частицу Пусть проблема собственных значений, относящихся к отдельным решена. В таком случае в выражении

нам известны собственные значения и собственные функции Тогда уравнение (48.3) решается путем

где ось обозначают теперь любые из чисел Если среди одно из встречается раз, то выбранной таким способом функции соответствует собственное значение

Наше решение (48.4) пока еще не удовлетворяет требованиям симметрии, согласно которым в

зависимости от статистики, пригодной для данных частиц, функция при перестановке каких-либо двух либо не изменяется, либо должна менять свой знак. С другой стороны при таких перестановках согласно уравнению (48.4) получаем всякий раз новые собственные функции для одного и того же собственного значения (48.4а). Правильные линейные комбинации этих собственных функций имеют следующий вид: для статистики Бозе

Здесь означает какую-либо перестановку аргументов Суммировать следует по всем возможным перестановкам. Множитель приводит к нормированию функции если отдельные нормированы и ортогональны. Это означает, что из

Для статистики Ферми правильная линейная комбинация в приведенной Слэтером детерминантной форме имеет вид:

При такой, форме записи сразу видно, что при перестановке каких-либо функция меняет, свой знак и что если какие-либо равны между собой. Но это означает, что для статистики Ферми возможные числа могут быть лишь Для дальнейшего не столько важен частный вид и фферми, сколько тот факт, что в любом случае собственному значению пггг соответствует лишь одна функция т. е. что это собственное значение более не вырождено.

Таким образом, состояние всей системы однозначно устанавливается с помощью совокупности чисел согласно схеме

Энергия и количество частиц для данного состояния определяются с помощью выражений

Допустимыми численными значениями являются: статистика Бозе: статистика Ферми: или 1.

Выясним термодинамические свойства идеальных газов Бозе и Ферми, а также среднее число для уровня при термическом равновесии и его среднеквадратичную флуктуацию. При этом используем три различных метода, соответствующих трем физическим ситуациям.

1. Система изолирована. Заданы энергия и число частиц Рассчитывается энтропия (см. §49).

2. Система находится в контакте с термостатом. Заданы температура и число частиц Рассчитывается свободная энергия (§ 50).

3. Система находится в контакте с термостатом и связана с резервуаром частиц. Задана температура и химический потенциал Рассчитывается функция (см. § 51).

Во всех случаях объем задан. Сначала рассчитывают ту термодинамическую функцию, естественные параметры которой для соответствующего случая совпадают с заданными. Далее можно вывести все прочие термодинамические функции (§ 19).

В данном случае метод 3 является самым простым и удобным. Хотя речь идет о разных физических ситуациях, результаты для случаев 1 и 2 во многом совпадают с результатами для случая 3, кроме исключений, когда, естественно, должна быть учтена конкретная физическая ситуация.