81. КОРРЕЛЯЦИЯ ДЛЯ СТАТИСТИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ФУНКЦИИ

Рассмотрим еще раз квадрат прироста скорости за время :

Записав правую часть уравнения как двойной интеграл в плоскости получим:

Функция крайне нерегулярно осциллирует вокруг нулевого значения. Поэтому среднее значение по многим частицам при больших значениях будет равно нулю. Предположим, что это среднее

значение зависит только от величины интервала времени

Введенная, таким образом, корреляционная функция при равна при возрастании она быстро стремится к нулю. Исходя из допущений необходимо потребовать, чтобы функция практически уже была равна нулю для значений еще малых по сравнению с

Рис. 115. К расчету двойного интеграла в уравнении (81.1).

Поэтому в плоскости (рис. 115) подынтегральная функция в уравнении (81.1) существенно отличается от нуля лишь в узкой полоске вдоль диагонали. Если в качестве новых переменных интегрирования ввести

то получим и

причем ввиду быстрого стремления функции к нулю с ростом 5 интегрирование можно производить по полоске (5 от до и от до

Таким образом, просто получаем

где малое по сравнению с время может быть обозначено как «время когерентности» функции Оно является мерой ширины «полосы когерентности» на рис. 115. Интегралы (79.4)

основного уравнения можно преобразовать, и не используя скоростей непосредственно при помощи корреляционной функции (81.2). После возведения в квадрат и усреднения по многим частицам из уравнения (79.4) следует:

Используя обозначения приводим интеграл в нашем приближении к виду

следовательно,

При правая часть уравнения должна стремиться к выражению в связи с чем для корреляционного интеграла получим:

что можно было бы установить еще из уравнений (81.3) и (78.5). Корреляция скорости вытекает непосредственно из уравнения (79.4) в результате умножения на и усреднения по многим частицам:

или, в несколько иной записи,

Отсюда особо простым способом определяется среднее квадратичное смещение: имеем следовательно,

После усреднения и использования уравнения (81.5) при для больших времен получаем:

С учетом приходим к хорошо известному выражению

Если же условие не выполнено, то в соответствии с (81.5) необходимо строго рассчитать величину

Это делается без затруднений и приводит к результату

Это выражение совпадает с полученным выше по методу Ланжевена и уже детально обсужденным выражением (77.6)