Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
63. ЛИНЕЙНАЯ ЦЕПЬДля пояснения обшей математической схемы в качестве простейшего примера обсудим линейную цепь. Рассмотрим линейную систему материальных точек массой Пусть а — длина напряженной пружины. Тогда
Рис. 84. Линейная цепь с пружинными связями в состоянии покоя и в напряженном состоянии Тем самым потенциальная энергия этой цепи равна:
Это выражение уже чисто квадратично относительно смещений, так что разложения в ряд по смещениям более не требуется. Уравнения движения имеют вид:
Рассмотрим вначале собственные колебания бесконечно длинной цепи, чтобы можно было не заботиться о граничных условиях. Найдем, следовательно, такие колебания цепи, при которых все атомы с одинаковой частотой колеблются около состояния своего покоя. Можно ожидать, что колебания цепи имеют форму волн:
Поэтому частота является функцией
и соответственно из уравнения (63.2а)
Собственные колебания (63.3) имеют форму волн, которые проходят по цепи. Действительная и мнимая части уравнения (63.3) представляют собой возможные реальные формы колебаний. Диапазон значений различным собственным колебаниям. При этом безразлично, в каком месте расположен интервал значений До сих пор мы рассматривали бесконечно длинную цепь. Однако необходимы решения для цепи, состоящей из
может выполняться только путем специального выбора значений
Вследствие ограничения интервалом
Затем разделим ось
Рис. 85 Связь между Если
Тогда число собственных частот в интервале
если ограничиться положительными значениями
Здесь бесконечность в точке сот Интеграл по спектральному распределению дает общее число Рисунок 86 показывает несколько типичных форм колебаний цепи, соответствующих определенным значениям
Рис. 86 Форма колебании цепи при частных значениях При таких колебаниях центры отдельных пружин неподвижны. Каждый атом движется таким образом, как если бы обе соседние пружины были закреплены в их центрах. Но коэффициент жесткости для половины длины пружины равен
то можно заметить, что в этом случае колеблется только одна часть решетки так, как если бы она колебалась между двумя соседними неподвижными точками. Поэтому При очень небольших значениях
где функция
Частота пропорциональна
На основании этого можно легко уяснить себе, как, зная скорость звука, рассчитать начальный участок спектра, не рассматривая подробнее структуру решетки цепи. Так как известно, что собственные колебания имеют форму звуковых волн по уравнению (63.12) и, кроме того, известна связь между
Если сравнить это выражение с действительным спектром решетки по уравнению (63.11), то можно заметить, что
Следовательно, теория упругости заменяет действительную функцию
Рис. 87. Спектр решетки и упругий спектр цепи. Упругое спектральное распределение совпадает со спектром решетки при малых частотах. Если упругий спектр должен содержать такое же число частот, как и спектр решетки, то он должен быть оборван на частоте Отсюда видно, что упругая функция может значительно отличаться от действительной в области более высоких частот или меньших длин волн. Учет структуры решетки в общем случае смещает рассчитанные по теории упругости частоты в область меньших значений частот. Предельная частота по Дебаю и наибольшая частота решетки различаются на множитель Особенно поучительно рассмотрение линейной цепи с двумя атомами различной массы же схему, как и выше, только теперь атомы, чередуясь, имеют массы
можно снова решить с помощью оправдавших себя условий
Рис. 88 Линейная цепь с двумя различными массами. При этом амплитуды для различных видов атомов
так как решетка имеет период
Число этих значений равно
детерминант которой должен быть равен пулю.
Это квадратное
Всего получаем Из выражения (63 19) получаем для отношения амплитуд:
Связь между
Рис. 89. Спектр и форма колебаний линейной цепи из двух разновидностей атомов с отношением масс В «оптической» ветви Особенно характерными здесь являются случаи (рис. 89): 1. 2. рассчитывается таким образом, как если бы атомы массой
На рис. 90, а приведено изменение
Это изменение идентично тому, которое было получено для линейной цепи с одинаковыми атомами, здесь только благодаря различию обеих частей решетки искусственно изменено деление на интервалы Рис. 90. (см. скан) Спектр решетки и спектр Дебая. а — при одинаковых массах очень большой разнице масс
Обе ветви проходят далеко друг от друга. Спектральное распределение (рис 90, б) получают так же, как и в случае цепи с однородными атомами. При сильно отличающихся массах также получают спектр из двух лежащих далеко друг от друга функций распределения (рис. 90, б). Акустическая ветвь дает такой же спектр, как и в случае равных масс. Напротив, оптическая ветвь почти монохроматичиа. Частоты оптической ветви расположены симметрично по отношению
а диапазон частот имеет относительную ширину
|
1 |
Оглавление
|