63. ЛИНЕЙНАЯ ЦЕПЬ

Для пояснения обшей математической схемы в качестве простейшего примера обсудим линейную цепь. Рассмотрим линейную систему материальных точек массой связанных друг с другом пружинами с жесткостью

Пусть а — длина напряженной пружины. Тогда — равновесные положения точек в цепи. Действительное положение атома номер определим выражением При этом величины представляют собой смещения атомов из положения равновесия (рис. 84).

Рис. 84. Линейная цепь с пружинными связями в состоянии покоя и в напряженном состоянии

Тем самым потенциальная энергия этой цепи равна:

Это выражение уже чисто квадратично относительно смещений, так что разложения в ряд по смещениям более не требуется. Уравнения движения имеют вид:

Рассмотрим вначале собственные колебания бесконечно длинной цепи, чтобы можно было не заботиться о граничных условиях. Найдем, следовательно, такие колебания цепи, при которых все атомы с одинаковой

частотой колеблются около состояния своего покоя. Можно ожидать, что колебания цепи имеют форму волн:

Поэтому частота является функцией а именно, из уравнения (63.2) следует, что

и соответственно из уравнения (63.2а)

Собственные колебания (63.3) имеют форму волн, которые проходят по цепи. Действительная и мнимая части уравнения (63.3) представляют собой возможные реальные формы колебаний. Диапазон значений ограничен. Это видно из формы (63.3а) уравнения собственных колебаний. Если, в частности, заменить на целочисленными значениями то получим то же самое собственное колебание. Форма колебания и частота не изменяются. Согласно этому значению должны находиться в интервале длиной для того, чтобы получить однозначное соответствие значений

различным собственным колебаниям. При этом безразлично, в каком месте расположен интервал значений так как согласно уравнениям (63.4) и (63.4а) собственные колебания периодичны относительно с периодом Выберем для рассмотрения интервал —

До сих пор мы рассматривали бесконечно длинную цепь. Однако необходимы решения для цепи, состоящей из атомов, так как нужно рассчитать спектр цепи. Так, например, можно рассмотреть цепь, состоящую из атомов, к которой с обоих концов добавлены два неподвижных атома (заданный «объем)». Для линейных цепей это граничное условие еще можно легко выполнить, для случая пространственной схемы учет соответствующего граничного условия дело безнадежно сложное. Поэтому для линейных цепей при расчете спектра атомов будем выбирать такое граничное условие, которое можно использовать и для пространственной решетки. Таким условием является краевое граничное условие периодичности. Потребуем, чтобы процессы в бесконечной цепи имели период Подобным образом получаем степеней свободы, так как смещения уже полностью описывают колебания К Можно доказать, что рассчитанный подобным образом спектр собственных колебаний при большом числе идентичен спектру цепи, состоящей из атомов и закрепленной на своих концах. При большом числе форма спектра в общем случае не зависит от граничных условий, которые должны учитываться на концах цепи. Условие периодичности

может выполняться только путем специального выбора значений

Вследствие ограничения интервалом может принимать лишь следующие значения:

этом в целях упрощения принимается, что четное число. Количество значений, входящих в выражение (63.7), составляет как раз Согласно уравнениям (63.4) или (63.4а) каждому значению соответствует Определенная собственная частота. Отсюда все собственных частот системы можно получить следующим образом. Построим график как функцию При этом будем предполагать, что частоты положительны:

Затем разделим ось на равные отрезки в соответствии с уравнением (63.7) и получим, таким образом, соответствующие им собственные частоты (рис. 85).

Рис. 85 Связь между для линейной цепи. Вертикали соединяют возможные значения с соответствующими собственными частотами

Если очень велико, то значения расположены очень часто. Число частот в интервале очевидно, равно:

Тогда число собственных частот в интервале будет:

если ограничиться положительными значениями так как значениям соответствуют одинаковые собственные частоты. Используя соотношение (63.8), в конце концов получаем:

Здесь наибольшая частота. Спектральное распределение (см. рис. 87) обратно пропорционально наклону кривой Спектр уходит в

бесконечность в точке сот Интеграл по спектральному распределению дает общее число собственных колебаний.

Рисунок 86 показывает несколько типичных форм колебаний цепи, соответствующих определенным значениям При граничном колебании соседние узлы решетки имеют одинаковую и противоположно направленную амплитуду. Если в линейной решетке выделить две части с шагом 2а в каждой из них, то обе эти части решетки колеблются с одинаковой амплитудой в противоположных направлениях.

Рис. 86 Форма колебании цепи при частных значениях

При таких колебаниях центры отдельных пружин неподвижны. Каждый атом движется таким образом, как если бы обе соседние пружины были закреплены в их центрах. Но коэффициент жесткости для половины длины пружины равен поэтому так как при колебании каждый раз нужно учитывать две пружины. Другой типичный случай возникает при Если записать колебание при таком значении в действительной форме:

то можно заметить, что в этом случае колеблется только одна часть решетки в то время как другая остается неподвижной. Следовательно, каждая отдельная колеблющаяся материальная точка движется

так, как если бы она колебалась между двумя соседними неподвижными точками. Поэтому

При очень небольших значениях амплитуды соседних атомов почти равны. В этом случае смещения могут описываться с помощью медленно изменяющейся непрерывной функции от координат

где функция определяет смещение атома номер Это предельный случай упругих волн. С помощью уравнения колебаний (63.12) описываются упругие волны в цепи, причем очевидно, представляет собой скорость звука, т. е. скорость, с которой распространяются волны. В упругой области связь между частотой и «вектором распространения» звуковых волн согласно уравнению (63.8) определяется из выражения

Частота пропорциональна скорость звука в соответствии с этим равна:

На основании этого можно легко уяснить себе, как, зная скорость звука, рассчитать начальный участок спектра, не рассматривая подробнее структуру решетки цепи. Так как известно, что собственные колебания имеют форму звуковых волн по уравнению (63.12) и, кроме того, известна связь между то можно снова выдвинуть условие периодичности на длине и опять получить уравнение (63.7) для возможных значений Могут использоваться также другие уравнения, а в уравнение (63.11) вместо можно подставить скорость звука. Для упругого спектра это дает:

Если сравнить это выражение с действительным спектром решетки по уравнению (63.11), то можно заметить, что точно соответствует постоянному начальному участку спектра решетки

Следовательно, теория упругости заменяет действительную функцию прямой Предельная частота спектра соответствует

Рис. 87. Спектр решетки и упругий спектр цепи. Упругое спектральное распределение совпадает со спектром решетки при малых частотах. Если упругий спектр должен содержать такое же число частот, как и спектр решетки, то он должен быть оборван на частоте

Отсюда видно, что упругая функция может значительно отличаться от действительной в области более высоких частот или меньших длин волн. Учет структуры решетки в общем случае смещает рассчитанные по теории упругости частоты в область меньших значений частот. Предельная частота по Дебаю и наибольшая частота решетки различаются на множитель так что упругий спектр простирается в область значительно более высоких частот (рис. 87).

Особенно поучительно рассмотрение линейной цепи с двумя атомами различной массы (рис. 88). Пусть положения атомов при ненапряженных пружинах снова заданы с помощью расстояний . В точках находятся атомы с массой в точках атомы с массой Таким образом, рассматриваем такую

же схему, как и выше, только теперь атомы, чередуясь, имеют массы Уравнения движения.

можно снова решить с помощью оправдавших себя условий

Рис. 88 Линейная цепь с двумя различными массами.

При этом амплитуды для различных видов атомов принимаются различными. Диапазон значений К в данном случае ограничен интервалом

так как решетка имеет период . Если в качестве граничного условия примем периодичность решения с периодом то возможными значениями будут:

Число этих значений равно число атомов каждого вида в интервале периодичности также равно После подстановки уравнений (63 17) в уравнения (63.18) получаем систему уравнений для определения

детерминант которой должен быть равен пулю.

Это квадратное уравнение для каждого из значений дает две собственные частоты:

Всего получаем собственных частот, т. е. ровно столько же частот, сколько атомов в интервале периодичности

Из выражения (63 19) получаем для отношения амплитуд:

Связь между распадается на две ветви (рис. 89). К «акустической» ветви относятся меньшие частоты, здесь соседниеатомы колеблются в одинаковых фазах малые частоты соответствуют упругим (акустическим) колебаниям цепы.

Рис. 89. Спектр и форма колебаний линейной цепи из двух разновидностей атомов с отношением масс В оптической ветви тогда согласно В акустической ветви тогда согласно Форма колебаний для трех частных значений объяснена в тексте.

В «оптической» ветви соседние атомы колеблются с противоположно направленными амплитудами ее частоты лежат выше, чем для акустической ветви.

Особенно характерными здесь являются случаи (рис. 89):

1. . Обе части решетки колеблются относительно друг друга как целые. Это точно соответствует граничному колебанию решетки с одинаковыми массами, здесь только амплитуды соседних атомов имеют различное значение,

2. . Часть решетки с более тяжелыми атомами не движется, соседние атомы части решетки колеблются с противоположно направленной амплитудой. Частота

рассчитывается таким образом, как если бы атомы массой колебались между двумя неподвижными точками.

При таких колебаниях неподвижна часть решетки в то время как соседние атомы с массой колеблются в противофазе.

На рис. 90, а приведено изменение для одинаковых масс:

Это изменение идентично тому, которое было получено для линейной цепи с одинаковыми атомами, здесь только благодаря различию обеих частей решетки искусственно изменено деление на интервалы Значения по уравнению (63.17) лежат в два раза плотнее, чем по уравнению (63.7), так как в этом случае мы рассматривали атомов с массой На рис. 90, б приведена зависимость при

Рис. 90. (см. скан) Спектр решетки и спектр Дебая. а — при одинаковых массах ; б - при При большом отношении масс спектр Дебая не дает хорошего приближения. Частоты оптической ветви практически могут заменяться одной частотой

очень большой разнице масс Тогда корень в уравнениях (63.21), (66.22) можно разложить в ряд:

Обе ветви проходят далеко друг от друга.

Спектральное распределение (рис 90, б) получают так же, как и в случае цепи с однородными атомами. При сильно отличающихся массах также получают спектр из двух лежащих далеко друг от друга функций распределения (рис. 90, б). Акустическая ветвь дает такой же спектр, как и в случае равных масс. Напротив, оптическая ветвь почти монохроматичиа. Частоты оптической ветви расположены симметрично по отношению

а диапазон частот имеет относительную ширину в соответствии с уравнением (63.25). Следовательно, в этом случае оптическую часть спектра можно описать с помощью выражения (62.5) для модели Эйнштейна с частотой Соотношения для пространственной решетки похожи. Для решеток, компоненты которых имеют очень различные массы, по методу Дебая можно приближенно описывать лишь акустическую ветвь; для описания оптичеекой ветви нужно привлекать метод Эйнштейна (например, для йодистого лития с отношением масс Описание полного спектрального распределения с помощью только приближенного метода Дебая в этом случая очень плохое.