51. БОЛЬШОЙ КАНОНИЧЕСКИЙ АНСАМБЛЬ

Пусть заданы, имеются термостат и запасной резервуар частиц. В данном случае поведение системы описывается с помощью большого канонического ансамбля, для которого величина

представляет собой относительную вероятность обнаружить для системы энергию и число частиц Это выражение идентично следовательно, соотношение

представляет собой относительную вероятность обнаружения чисел При таком рассмотрении числа статистически не связаны. Для вероятности того, что частиц обладают энергией имеем:

Разумеется, для статистики Бозе сумма распространяется на все от до а для статистики Ферми — только на Средним значением является

Итак,

для статистики Бозе

для статистики Ферми (51.3)

Далее видим, что

Таким образом, имеем: для статистики Бозе

для статистики Ферми

Тем самым мы заново вывели формулы (49.9) и (50.11) для заполнения энергетических уровней. Тем не менее при данном выводе, несмотря на его кратность, обнаруживаем существенный прогресс по сравнению с предыдущим. Ранее параметры вводились как формальные вспомогательные математические величины (параметр

Лагранжа или радиус круга в комплексной плоскости). Только впоследствии мы с большими или меньшими усилиями смогли установить их физический смысл. Напротив, при последнем выводе параметры сразу имели физический смысл как температура и химический потенциал запасного резервуара частиц. В соответствии с этим в уравнениях (51.3а) и также представляют собой точные выражения для средних значений в описываемой ситуации, в то время как соответствующие формулы в предыдущих разделах удавалось вывести только при помощи приближенных методов, правомерность которых не всегда легко оценить.

Из формулы (51.1) делаем заключение, что для газа Бозе наиболее вероятное значение всегда равно нулю, так как при нашем отсчете может принимать только положительные значения (самым низким значением является в уравнении (51.3а) также должно быть положительным). Напротив, для вырожденного газа Ферми а может стать и отрицательным. Тогда наибольшее число заполнения, а именно будет наиболее вероятным, если если

Уже когда меньше на несколько значений становится почти равным 1 и отклонения согласно уравнению (51.36) очень малы, откуда становится понятным, что наиболее вероятное и среднее значения практически равны.

Термическое поведение определяется «большой статистической суммой»

Ее расчет мы фактически уже произвели в предыдущей главе. Нам следует лишь заменить в уравнениях (50.3) и на Следовательно, при согласно выражению (50.4) непосредственно получаем:

для статистики Бозе

для статистики Ферми (51.4)

Образуем полный дифференциал

Если для случая, когда флуктуации достаточно малы, принять, что просто равны энергии и числу нашей системы, то будем иметь:

Таким образом получена связь с функциями введенными еще в § 19.