74. ЯВЛЕНИЯ ФЛУКТУАЦИЙ

Из общей формулы

вытекают явления флуктуаций в узком смыслё, когда величина а при термическом равновесии равна нулю, т. е. когда значение соответствует максимуму энтропии. В этом случае Можно тогда применить справедливое при малых а разложение в ряд Тейлора

в связи с чем

Проиллюстрируем эту формулу снова на примере энергии малой подсистемы. Если энергия этой подсистемы в равновесии, то при из уравнения (73.9а) следует:

Условие как и следовало ожидать, требует, чтобы

Следовательно, для зависящей от и части остается

где вторая производная относится теперь только к подсистеме (1). Далее

Но представляет собой теплоемкость системы (1), так что

Если положить (для ориентировки в порядке величии) то получим

Для относительной флуктуации тем самым имеем:

где например, представляет собой число атомов в системе (1), ибо [с точностью до множителя (2/3)] является теплоемкостью одного атома газа, теплоемкостью всего тела.

При флуктуациях нескольких параметров, например вероятностная формула расширяется:

Используем эту формулу при одновременном отклонении от равновесного значения энергии и объема подсистемы (1). Подставим

где означают теперь равновесные значения. Тогда

Здесь как так и

При разложении в ряд по и по до квадратичного члена появляются лишь вторые производные. Однако

ли система (2) намного больше системы (1), то эти производные пренебрежимо малы для второй системы. Следовательно, с точностью до не зависящего от u и v слагаемого будем иметь:

где

Здесь, например, означают: Из выражения вытекает Устраним часто мешающий применению уравнения (74.6) член включающий оба параметра, вводя вместо и новую переменную путем

Тем самым, действительно, получим:

Обсудим физическое значение новых величин. Если рассматривать энергию и давление как функции то

и

Докажем выражение (74.10). Из уравнения (74.7) следует:

После интегрирования выражения

получим выражение (74.10).

Для доказательства выражения (74.11) нужно вначале рассматривать заданную в виде функции от и величину как функцию

Тогда следовательно

или

что и утверждалось в выражении (74.11).

Смысл введенной в уравнении (74.8) величины получим теперь путем введения изменения температуры При изменение энергии и будет равно:

Следовательно, согласно (74.10)

Таким образом, величина в уравнении (74.8) имеет значение где означает теплоемкость, измеренную при постоянном объеме. Поэтому окончательно получаем:

Согласно выражению для вероятности

флуктуации температуры и объема происходят независимо друг от друга. Значения флуктуаций равны

Используя модуль сжатия

получим также

Для идеального газа следовательно, как и должно было быть.