34. ЭНТРОПИЯ

а) «Параметр» в H-функции.

Пусть функция Гамильтона, кроме координат и импульсов, зависит от одного или нескольких «параметров» а. Под параметром мы понимаем величину, которая в нормальном случае не изменяется при движении, однако ее численное значение можно выбирать произвольным путем воздействия извне. Примерами таких величин являются, например, объем сосуда, в котором заключена наша система или налагаемое извне магнитное поле.

Если для функции параметр изменяется во времени, то это изменение не влияет на уравнения движения (31.1). Из этого следует, что для изменения а следовательно, и энергии во времени в каждое мгновение справедливо соотношение

Если за время а изменилось на очень малую величину то для приращения за время имеет место соотношение

Подставляя для малого изменения и используя усреднение по времени получаем для изменения

Наконец, при достаточно медленном изменении для можно принять усреднение по микроканоническому ансамблю:

Если, например, подставить то, следовательно, выражение должно иметь значение давления.

Поясним ситуацию на одном специальном примере (рис. 63). Возьмем цилиндр с поршнем, имеющий единичное поперечное сечение. Координата х отсчитывается от днища сосуда до поршня В этом случае численно равно объему. Пусть будут координаты атома. Для того чтобы этот атом действительно отражался от поршня, в функцию должна входить соответствующая потенциальная энергия Она может, например, иметь форму

с положительными коэффициентами с и А.

Рис. 63. Позиция поршня как «параметр» в -функции.

Если А очень велико, то эта энергия при практически равна нулю, а при бесконечно велика. Мы можем тогда в функции 3% сумму

считать потенциальной энергией. Используя такую функцию можно получить силу обусловливаемую действием всех молекул на стенку:

Она, естественно, равна по величине и противоположна по знаку сумме всех сил которые испытывают отдельные молекулы со стороны стенки:

Приведенную в (34.2), усредненную во времени силу мы ощущаем как давление. В каждое мгновение суммирование производится лишь для тех атомов, которые находятся вблизи станки почти равно

б) Адиабатная инвариантность Ф

Одновременно с а будет зависеть и фазовый объем становится тем самым функцией двух переменных и определяется с помощью выражения

Выясним теперь значения частных производных этой функции. Производную мы уже проанализировали в (31.10). Для расчета учтем, что выражение

определяет ограниченный двумя гиперповерхностями

объем фазового пространства (рис. 64).

Поверхность равнозначна с

Если мы, как и ранее, обозначим через элемент поверхности и через расстояние по нормали между двумя поверхностями, то будем иметь:

Величина следует из условия, что должно иметь направление и что при удалении на расстояние также должна уменьшаться на

Следовательно,

и поэтому

Но согласно определению (32.5) и выражениям и (32.4) для микроканонического среднего справедливо

следовательно,

Тем самым для любого изменения будет иметь место:

Это чрезвычайно важный результат.

Из (34.1) мы знаем, что связанные с медленным изменением а затраты работы увеличивают энергию на величину

Рис. 64. I и II представляют собой гиперповерхности

Назовем такое воздействие на систему «адиабатным» процессом.

Из (34.4) следует, что при адиабатном изменении параметра (или нескольких параметров) фазовый объем остается неизменным. Это и есть адиабатная инвариантность фазового объема.

в) k*lnФ как энтропия

Способ записи уравнения (34.4)

дает нам сведения о возможностях увеличения энергии нашей системы: второй член представляет собой работу, совершенную над системой при изменении параметра. Вследствие этого остается истолковать первое слагаемое как подведенное тепло

Оба способа увеличения энергии различаются весьма характерным образом. Во время совершения работы . А мы изменяем механическое состояние системы, характеризуемое изменением а, при этом движение, описываемое уравнениями (31.1), не нарушается. В противоположность этому при подводе тепла механическое

состояние не изменяется; вместо этого мы произвольно возмущаем характер хода движения, изменяя, например, значения отдельных импульсов не предусмотренным уравнениями (31.1) образом. Если наша система вообще имеет свойства нагретого тела, то уравнения (34.4) и (34.6) заставляют нас рассматривать величину как энтропию. В самом деле, после умножения на из уравнения (34.4) (с учетом следует:

в полном соответствии с выражением

если согласно (33.4) представить

Здесь означает вначале неизвестную, независимую от величину. Таким образом, введенный уравнением (31.9) фазовый объем оказывается параметром, определяющим термическое поведение нашей системы.

Поясним адиабатную инвариантность на очень простом примере (рис. 65). Рассмотрим маятник на нити массой длиной с координатой а и энергией

Соответствующий импульс будет следовательно, Ограничимся небольшим отклонением а, заменим

в связи с чем имеем функцию Гамильтона:

Фазовый объем представляет собой эллипс в плоскости с полуосями

Следовательно,

При небольшом изменении будет выполняться

Рассмотрим далее длину нити как параметр, который мы изменяем адиабатно. С этой целью, как показано на рисунке, нить введена в начальной точке О через небольшое отверстие и медленно подтягивается вверх.

Рис. 65. Маятник с длиной нити в качестве «параметра». Пример адиабатной инвариантности

Требуемая для этой цели сила К в каждое мгновение имеет значение

Значение этих трех слагаемых легко уяснить. Первое представляет собой центробежную силу, два других равны умноженной на а силе тяжести

Усреднение по микроканоническому ансамблю означает здесь усреднение во времени по одному колебанию (при постоянной Для гармонического колебания средние значения потенциальной и кинетической энергий равны между собой (потенциальную энергию в состоянии покоя в данном случае учитывать не следует). Тогда из (34.8) следует:

С этими средними значениями получаем:

При адиабатном изменении работа, совершенная над системой, равна (при укорочении нити отрицательно). Таким образом,

Следовательно, согласно (34.10) при адиабатном изменении действительно

Применительно к квантовой теории внесем некоторые дополнения к (34.9). Если мы назовем энергией колебания нашего маятника и учтем, представляет собой частоту его колебаний, то из уравнения (34.9) следует:

т. е. отношение энергии к частоте при адиабатном изменении остается постоянным.