37. КАНОНИЧЕСКИЙ АНСАМБЛЬ

а) Вторая система намного больше первой

В § 36 при обсуждении двух систем, находящихся в соприкосновении, мы нашли вероятность того, что «первая» система находится в элементе своего -пространства. Допустим теперь, что вторая система неизмеримо больше первой. Тогда значение практически всегда мало по сравнению с Мы можем тогда разложить в ряд по степеням и оборвать ряд на члене с первой степенью Такой метод может иметь смысл лишь тогда, когда член с квадратом мал по сравнению с линейным членом. Проверим ситуацию для типичного случая при чрезвычайно большом значении Разложение в ряд по степеням дает:

Для того чтобы второй член был мал по сравнению с первым, должно выполняться условие

т. е. должно быть значительно меньше энергии одной степени свободы. Это условие означало бы неприемлемое ограничение области применимости формулы.

Найдем выход, разлагая в ряд не Тогда получим:

В данном случае квадратичный член мал по сравнению с линейным уже при Но это предположение мы уже приняли выше.

При таком методе в уравнении (36.1) получим:

Но согласно (36.4)

Следовательно, из (36.1 в) вытекает

В коэффициенте С собраны все не зависящие от множители. Равным образом из уравнения (36.2) для вероятности найти энергию первой системы в интервале получаем:

Уравнения (37.1) и (37.2) образуют исходные пункты почти всех применений. Их можно без преувеличения назвать важнейшими формулами всей статистической механики. Из вывода уравнений (37.1) и (37.2) следует, что входящая в них температура является свойством большей системы (система 2). Она представляет собой единственный параметр системы 2, который влияет на статистическое поведение малой системы. Система 2 действует как «термостат». О размерах малой системы при выводе уравнений не было сделано никаких оговорок. Она может, например, состоять из единичного атома.

б) Определение канонического ансамбля

Среднее значение какой-либо фазовой функции «малой» системы согласно (37 1) будет равно:

причем с этих пор мы будем опускать индекс 1 для функции Гамильтона. Выше мы определили микроканонический ансамбль систем в -пространстве заданием функции плотности.

Определим теперь канонический ансамбль.

Условие (37.3), следовательно, означает среднее значение по каноническому ансамблю. Согласно канонический ансамбль, так же как и микроканонический, стационарен, так как плотность зависит только от

в) Два простейших применения уравнения (37.1)

1. Распределение скоростей Максвелла и барометрическая формула. Если малая система состоит только из одного атома, находящегося в силовом поле с потенциальной энергией то из уравнения (37.1) следует:

Если нас интересует распределение скоростей, но не положение, то после интегрирования по получим:

Это и есть распределение скоростей Максвелла.

Если, наоборот, встает вопрос о положении системы, то итоговое выражение имеет вид:

В частном случае поля земного тяготения если считать х направленным вверх перпендикулярно поверхности земли. Уравнение (37.56) переходит тогда в барометрическую формулу (см. также § 27). Будем в некоторых случаях называть уравнение (37.5в) барометрической формулой также и при других видах функции

2. Закон равнораспределения. Среднее значение др на основании (37.1) равно:

Если учесть, что

то частичное интегрирование по сразу же дает

уже известный из микрокаионического распределения (§ 33) результат.