§ 7. Вычисление площади поверхности

Пусть требуется вычислить площадь поверхности, ограниченной линией Г (рис. 323); поверхность задана уравнением где функция f(x, у) непрерывна и имеет непрерывные частные производные. Обозначим проекцию линии Г на плоскость Оху через L. Область на плоскости ограниченную линией L, обозначим через

Разобьем произвольным образом область D на элементарных площадок . В каждой площадке возьмем точку . Точке будет соответствовать на поверхности точка . Через точку проведем касательную плоскость к поверхности. Уравнение ее имеет вид

(см. § 6, гл. IX, т. I). На этой плоскости выделим такую площадку которая проектируется на плоскость Оху в виде площадки . Рассмотрим сумму всех площадок

Предел а этой суммы, когда наибольший из диаметров площадок стремится к нулю, мы будем называть площадью поверхности, т. е. по определению положим

Займемся теперь вычислением площади поверхности. Обозначим через угол между касательной плоскостью и плоскостью Оху.

Рис. 323.

Рис. 324.

На основании известной формулы аналитической геометрии можно написать (рис. 324)

или

Угол - есть в то же время угол между осью и перпендикуляром к плоскости (1). Поэтому на основании уравнения (1) и формулы аналитической геометрии имеем

Следовательно,

Подставляя это выражение в формулу (2), получим

Так как предел интегральной суммы, стоящей в правой части последнего равенства, по определению представляет собой двойной интеграл то окончательно получаем

Это и есть формула, по которой вычисляется площадь поверхности

Если уравнение поверхности дано в виде или в виде , то соответствующие формулы для вычисления поверхности имеют вид

где - области на плоскостях в которые проектируется данная поверхность.

Пример 1. Вычислить поверхность а сферы

Решение. Вычислим поверхность верхней половины сферы . В этом случае

Следовательно, подынтегральная функция примет вид

Область интегрирования определяется условием . Таким образом, на основании формулы (4) будем иметь

Для вычисления полученного двойного интеграла перейдем к полярным координатам. В полярных координатах граница области интегрирования

определяется уравнением . Следовательно,

Пример 2. Найти площадь той части поверхности цилиндра которая вырезается цилиндром

Рис. 325.

Рис. 326.

Решение. На рис. 326 изображена часть искомой поверхности. Уравнение поверхности имеет вид ; поэтому

Область интегрирования представляет собой четверть круга, т. е. определяется условиями

Следовательно,

§ 8. Плотность распределения вещества и двойной интеграл

Пусть в области D распределено некоторое вещество, так что на каждую единицу площади области D приходится определенное количество этого вещества. Мы будем говорить в дальнейшем о распределении массы, хотя наши рассуждения сохранятся и в том случае, когда идет речь о распределении электрического заряда, количества тепла и т. п.

Рассмотрим произвольную площадку области D. Пусть масса вещества, приходящаяся на данную площадку, есть

Тогда отношение называется средней поверхностной плотностью вещества в области .

Пусть теперь площадка уменьшается, стягиваясь к точке . Рассмотрим предел Если этот предел существует, то, вообще говоря, он будет зависеть от положения точки Р, т. е. от ее координат х и у, и будет представлять собой некоторую функцию точки Р. Будем называть этот предел поверхностной плотностью вещества в точке Р:

Таким образом, поверхностная плотность есть функция координат точки области.

Пусть теперь, обратно, в области D задана поверхностная плотность некоторого вещества как некоторая непрерывная функция и требуется определить общее количество вещества М, содержащегося в области D. Разобьем область D на площадки и в каждой площадке возьмем точку тогда есть поверхностная плотность в точке

Произведение с точностью до бесконечно малых высшего порядка, дает нам количество вещества, содержащегося на площадке а сумма приближенно выражает общее количество вещества, распределенного в области D. Но это — интегральная сумма для функции в области D. Точное значение мы получим в пределе при

Таким образом,

т. e. общее количество вещества в области D равно двойному интегралу по области D от плотности этого вещества.

Пример. Определить массу круглой пластинки радиуса если поверхностная плотность материала пластинки в каждой точке пропорциональна расстоянию точки от центра круга, т. е. если

Решение. По формуле (2) имеем

где область интегрирования D есть круг

Переходя к полярным координатам, получаем