1.5. ФОРМУЛА БАЙЕСА

На основании правила умножения вероятностей мы можем вывести формулу Байеса:

откуда

Это и есть формула Байеса.

Вероятность подсчитывается до проведения опыта, поэтому носит теоретический, предварительный характер. Вероятность основывается на Данных уже проведенного эксперимента, поэтому более точна с практической точки зрения.

Пример 1.16. Фирма имеет три источника поставки комплектующих — фирмы А, В, С. На долю фирмы А приходится 50% общего объема поставок, В - 30% и С - 20%. Из практики известно, что 10% поставляемых фирмой А деталей бракованных, фирмой В - 5% и фирмой С - 6%.

1. Какова вероятность, что взятая наугад деталь была получена от фирмы А?

2. Какова вероятность, что взятая наугад и оказавшаяся бракованной деталь получена от фирмы А?

Решение.

1. Так как 50% комплектующих деталей поставляются фирмой А, то

Следовательно, вероятность того, что взятая наугад деталь была поставлена фирмой А, равна 0,5.

2. Рассмотрим рис. 1.8.

Рис. 1.8. Дерево вероятностей

На основе рис. 1.8 вероятность брака в поставках равна:

т. е. число бракованных деталей в общем количестве составляет 77 из 1000 штук. Вычислим долю фирмы А в общем количестве бракованной продукции:

Иначе говоря, вероятность того, что выбранная деталь была получена от фирмы А при условии, что она оказалась бракованной, изменилась с 0,5 до 0,65. Используя формулу Байеса, это можно выразить так:

Итак, вероятность того, что поступившая бракованная деталь была поставлена фирмой А, равна 0,65.

Пример 1.17. В центральную бухгалтерию корпорации поступили пачки накладных для проверки и обработки. 90% пачек были признаны удовлетворительными: они содержали только 1% неправильно оформленных накладных. Остальные 10% пачек накладных были признаны неудовлетворительными, так как содержали 5% неправильно оформленных накладных.

1. Какова вероятность того, что следующая партия поступивших накладных будет признана неудовлетворительной?

2. Взятая наугад из пачки накладная оказалась оформленной неправильно. Учитывая это, какова вероятность того, что вся пачка накладных будет признана не соответствующей стандартам?

3. Вторая взятая наугад накладная тоже была неправильно формленной. Приняв во внимание оба факта, определите вероятность, что вся пачка накладных является неудовлетворительной.

Рис. 1.9. Вероятность появления неправильной накладной

Решение.

Ввиду объемности каждой пачки накладных будем считать, что вероятность появления неправильной накладной существенно не изменится.

1. Без дополнительной информации, основываясь на данных прошлых экспериментов, вероятность того, что пачка накладных будет признана недействительной, равна 0,1.

2. Для последующего решения может быть применена диаграмма в виде «дерева» (см. рис. 1.9).

Полная вероятность обнаружения неправильной накладной равна:

Р (пачка накладных признана неудовлетворительной после того, как первая отобранная накладная признана неправильной

3. Для ответа на последний вопрос используем дополнительную схему.

Рис. 1.10. Вероятность обнаружения двух неправильных накладных

Вероятность того, что первые две накладные неправильны, равна:

Итак, если, по предварительным данным, вероятность того, что пачка накладных будет неудовлетворительна, составляла 0,1, то после первого эксперимента она составила 0,36, после второго — 0,74.