2.7. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

2.7.1. Природа нормального распределения

Нормальное распределение используется в ситуациях, связанных с измерениями веса или объема товаров, роста мужчин, проходящих медкомиссию, срока работы электроламп и т.д. Характерные свойства равномерного распределения, рассмотренные нами в предыдущем параграфе, относятся также и к нормальному распределению:

1. Площадь, образуемая кривой нормального распределения, представляет собой вероятность, что непрерывная случайная величина примет значения из заданного интервала.

2. Общая площадь под кривой нормального распределения равна полной вероятности, т.е. 1.

3. Невозможно точно определить вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает какое-то конкретное значение.

Нормальное вероятностное распределение — это симметричное относительно среднего случайного значения величины распределение. Теоретически значения случайной величины находятся в интервале от минус до плюс бесконечности, т.е. непрерывная случайная величина может принимать любые значения, как положительные, так и отрицательные. Однако на практике нормальное распределение обычно используется для случайной величины, значения которой расположены в ограниченном интервале. Ниже представлен график типичного нормального распределения (рис. 2.10).

Рис. 2.10. Распределение пачек чая по весу

Функция плотности вероятности для нормального распределения представляет собой сложную математическую функцию, которая зависит от среднего значения случайной величины и ее дисперсии . К счастью, все нормальные распределения можно свести к единому стандартному вероятностному распределению. Для этого распределения были составлены таблицы, в которых указываются площади под

кривой для различных значений непрерывной случайной величины и по которым мы можем определить ту вероятность, которая нам требуется.

В стандартном нормальном распределении среднее значение случайной величины равно 0, дисперсия равна 1 и, следовательно, стандартное отклонение равно 1. Замена нормального распределения стандартным распределением означает то, что значения случайной величины (минуты, граммы, сантиметры и т.д.) выражены стандартным отклонением среднего значения случайной величины. После замены реальных цифр единицами стандартного отклонения требуемые вероятности могут быть найдены по таблице.

Существует несколько вариантов таблиц нормального распределения. Все они дают один и тот же результат, только несколько различными путями. В Приложении 2 представлены таблицы вероятностей случайной величины, значения которой на z стандартных отклонений выше среднего.