4.4.4. Стандартные выборочные распределения

Имеются четыре стандартных распределения, к которым мы будем часто обращаться в последующих главах. Это нормальное распределение и F распределения. В этом разделе будут рассмотрены основные особенности каждого из этих распределений в связи с их использованием для проведения статистического вывода.

СТАНДАРТНОЕ НОРМАЛЬНОЕ (z) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНЫХ СРЕДНИХ

В разделе 2.7 мы рассматривали нормальное распределение. Было показано, как. можно преобразовать любое нормальное распределение в стандартное нормальное распределение, для которого среднее значение и дисперсия Значения переменной для такого стандартного нормального распределения обозначаются z и определяются как:

Рассчитанные таким образом значения z используются для нахождения требуемых вероятностей по таблице стандартного нормального распределения.

Выборочное распределение выборочных средних является нормальным распределением, если выборки получены как простые случайные из нормальной совокупности. Такое распределение описывается теми же характеристиками, что и любое нормальное наблюдение, только лишь следует иметь в виду, что z в этом случае:

ввиду того, что выборочное распределение выборочных средних является распределением значений х (а не х), для которых средняя есть , а стандартное отклонение или стандартная ошибка обозначается как Значение z измеряется числом стандартных ошибок, которые отделяют выборочную среднюю от генеральной средней.

Ввиду того, что для больших совокупностей, z может быть выражено как:

Чтобы использовать это равенство, мы должны знать генеральную дисперсию . Если мы не знаем то мы оцениваем ее, используя ее выборочную дисперсию:

Стандартизованная переменная в этом случае запишется как:

но ее распределение не всегда нормально. Стандартное нормальное распределение может заменяться -распределением.

t-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛЯ ВЫБОРОЧНЫХ СРЕДНИХ

Если простая случайная выборка произведена из нормальной совокупности, дисперсия которой неизвестна, стандартное распределение выборочных средних — -распределение, где:

-распределение является симметричным относительно генеральной средней но в отличие от нормального -распределения форма t-распределения зависит от т.е. от объема выборки. Когда мало, -распределение является более пологим по сравнению с z-распределением. По мере того, как возрастает объем выборки, -распределение приближается к стандартному нормальному распределению; следовательно, нормальное распределение можно использовать в качестве приближения -распределения для выборки большого объема. Размер выборки считается большим, если

Зависимость -распределения от объема выборки не является однозначной. В действительности -распределение варьирует с изменением числа степеней свободы для каждого конкретного случая. Например, если мы имеем дело со средней единственной выборки размером число степеней свободы будет равно (и - 1), но если мы рассматриваем средние двух выборок, которые имеют размеры то число степеней свободы будет равно

Понятие числа степеней свободы может быть проиллюстрировано с помощью следующего простого примера. Если мы вычисляем среднюю из пяти чисел, то при этом мы свободны в выборе четырех из них, но значение пятого числа предопределено величиной данной средней. Например, если средняя из пяти чисел равна 6, мы можем выбрать 2, 7, 9 и 3 в качестве первых четырех чисел. Пятое число у является определенным, потому что средняя равна: т.е. у должно бьггь равно 9. У нас нет свободы выбора последнего значения и поэтому мы имеем четыре степени свободы.

Если значения величины рассчитаны, то могут использоваться стандартные выроятностные таблицы (-таблицы), которые используются так же, как таблицы стандартного нормального распределения. Однако поскольку таблицы -распределения должны содержать значения числа степеней свободы так же, как и различные значения то необходимо соединить всю необходимую информацию. Фактически эти таблицы организованы обычно таким образом, чтобы значения были связаны с конкретными вероятностями для различных степеней свободы, (см. таблицу в Приложении 2). Использование таких таблиц будет более детально поясняться в гл. 5.

ВЫБОРОЧНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ х2 ДЛЯ ВЫБОРОЧНОЙ ДИСПЕРСИИ

Те же самые предположения делаются для распределения т.е. прежде всего то, что выборка произведена из нормальной совокупности. Статистика:

подчиняется распределению степенями свободы. Как и -распределе-кие, форма этого распределения зависит от числа степеней свободы.

На рис. 4.5. приведены примеры отдельных распределений при разном числе степеней свободы. Распределение не симметрично и изменяется по мере увеличения объема выборки.

Рис. 4.5. Распределение при различном числе степеней свободы

Значения х представлены так же, как и в специальных таблицах, где конкретные значения даются для тех или иных степеней свободы.

ВЫБОРОЧНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ F ДЛЯ ДВУХ ВЫБОРОЧНЫХ ДИСПЕРСИЙ

Если мы имеем две выборки, которые были отобраны случайно из нормальных совокупностей, то для того, чтобы сравнить две выборочные дисперсии, нам потребуется новое выборочное F-распределение. Статистика:

подчиняется F-распределению. Точно так же, как таблицы t-распределения, таблицы F показывают значения соответствующие вероятности. Таблицы содержат значения F статистики для комбинации числа степеней свободы в двух выборках. Более детально F-распределение рассматривается в гл. 6.

КАК БЫТЬ, ЕСЛИ СОВОКУПНОСТЬ НЕ ЯВЛЯЕТСЯ НОРМАЛЬНОЙ

Все стандартные распределения предполагают, что выборка представляет собой случайную выборку из нормально распределенной генеральной совокупности. Мы можем обеспечить случайность отбора, но не можем контролировать нормальность распределения генеральной совокупности. Самый простой способ проверки приближения к нормальности состоит в использовании для этой цели выборочных данных. Если графическое изображение выгладит симметрично, то тогда можно предположить соответствие нормальному распределению. Существует и более формальные статистические тесты для проверки нормальности, но нет необходимости излагать их в этой книге. Если выборочное распределение очевидно асимметричное, то нужно быть осторожным с его данными. Имеются специальные подходы к работе с такими выборками.

Что касается средней величины, центральная предельная теорема позволяет нам пользоваться z-распределением, если размер выборки равен по крайней мере единицам и более. Согласно центральной предельной теореме, если мы берем достаточно большую выборку из совокупности, независимо от ее распределения, со средней и стандартным отклонением о, то распределение выборочных средних будет приблизительно нормальным. Чем больше размер выборки, тем ближе к нормальному будет это распределение. Общее правило таково, что выборка должна быть объемом 30 единиц и более. В этом случае можно не поднимать вопрос о нормальности распределения генеральной совокупности.

Альтернативный подход состоит в трансформации переменной: переменная, которая не имеет нормального распределения, может быть трансформирована каким-либо образом, например, путем перехода к логарифмам значений, и таким образом может быть обеспечено соответствие нормальному распределению. Третий путь состоит в том, чтобы использовать непараметрическую статистику, которая не требует предположения о нормальности.